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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios de Revisão - Ex. 7

As populações de duas espécies de animais são descritas pelo sistema não-linear de equações diferenciais de primeira ordem:

d x d t = k 1 x α - x ,   d y d t = k 2 x y

Resolva o sistema obtendo x e y em termos de t .

Passo 1

Então galera, aqui o enunciado quer testar nossos conhecimentos mesmo, apenas isso. O que precisamos fazer é resolver as equações diferenciais dadas. Já que fomos desafiados, bora pra cima! A primeira equação é:

d x d t = k 1 x α - x

Simplificando, teremos:

1 a x + 1 a a - x d x = k 1 d t

Integrando, teremos:

∫ 1 a x + 1 a a - x d x = k 1 ∫ d t

1 a ∫ d x x + 1 a ∫ d x a - x = k 1 ∫ d t

Então vamos resolver isso aí!

Passo 2

Para o lado esquerdo, teremos:

1 a ∫ d x x + 1 a ∫ d x a - x = 1 a ln ⁡ x - 1 a ln ⁡ a - x + c 1

Para o lado direito, teremos:

k 1 ∫ d t = k 1 t + c 2

Unindo os resultados:

1 a ln ⁡ x - 1 a ln ⁡ a - x + c 1 = k 1 t + c 2

1 a ln ⁡ x - 1 a ln ⁡ a - x = k 1 t + c

Simplificando, teremos:

x = a c 1 e a k 1 t   1 + c 1 e a k 1 t

Show! Resolvemos a primeira equação diferencial!

Passo 3

A segunda equação que nos foi dada é a seguinte:

d y d t = k 2 x y

Isolando as variáveis:

d y y = k 2 x d t

Integrando:

∫ d y y = k 2 ∫ a c 1 e a k 1 t   1 + c 1 e a k 1 t d t

O que nos dá como resultado:

ln ⁡ y = k 2 k 1 ln ⁡ 1 + c 1 e a k 1 t + c

E está aí nossa resposta! 😉

Resposta

x = a c 1 e a k 1 t   1 + c 1 e a k 1 t

ln ⁡ y = k 2 k 1 ln ⁡ 1 + c 1 e a k 1 t + c

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