Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.1 - Ex. 27
Encontre as curvas das trajetórias ortogonais de que passam por .
Passo 1
E aí, beleza?? Vamos matar esse probleminha?
Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por e que passam por .
A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser
Aí é só resolver pra encontrarmos a forma genérica das trajetórias ortogonais
Pra encontrarmos as curvas que passam por , vamos substituir e na equação encontrada para aí encontrarmos o valor da constante , vamos lá?
Passo 2
Vamos começar encontrando a equação diferencial , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:
Usando a regra da cadeia (pra derivarmos o )
Vamos isolar o :
Humm vamos isolar o lá na equação , pra aí podermos substituir na equação
Substituindo em :
Então, a equação diferencial da família dada é
Passo 3
Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos
Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:
Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P
Passo 4
Temos
Isso é uma EDO linear, porque ela pode ser escrita no formato , olha:
Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:
Onde
Na nossa equação , temos e então:
Então esse é o nosso fator de integração
Passo 5
Substituindo o que temos na expressão :
Multiplicando:
Belezinha, essa é a equação que descreve as trajetórias ortogonais. Mas precisamos saber qual é a curva que passa por
Para isso, vamos substituir por e por , pra aí encontrarmos qual a constante que nos dá as curvas que queremos, vamos lá que ta acabando
Passo 6
As trajetórias ortogonais são dadas por
Substituindo e
Então, a constante deve valer 3 para que a curva passe por :