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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 8

Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas

y ' ' - 2 y ' = 1 + δ t - 2 ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' ' - 2 y ' = 1 + δ t - 2 ,       y 0 = 0 ,   y ' 0 = 1

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' ' - 2 y ' = 1 + δ t - 2

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) - 2 s . Y s - y 0 = 1 s + e - 2 s

Sabemos que y 0 = 0 e y ' 0 = 1 :

s 2 . Y s - s . 0 - 1 - 2 s . Y s - 0 = 1 s + e - 2 s

Y s . s 2 - 2 s = 1 s + e - 2 s + 1

Então:

Y s = 1 s + e - 2 s + 1 s ( s - 2 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s + e - 2 s + 1 s ( s - 2 )

Y s = 1 s ² ( s - 2 ) + e - 2 s s ( s - 2 ) + 1 s ( s - 2 )

Expandindo em frações parciais:

Y s = - 1 4 s - 1 2 s 2 + 1 4 s - 2 + e - 2 s - 1 2 s + 1 2 s - 2 + - 1 2 s + 1 2 s - 2

O e - 2 s está representando a função degrau u atrasada em   2, então tudo que tiver t no segundo parênteses vai ter um - 2 depois

Então temos:

y t = - 1 4 - 1 2 t + 1 4 e 2 t + - 1 2 + 1 2 e 2 t - 2 u t - 2 - 1 2 + 1 2 e 2 t

Juntando os termos:

y t = - 3 4 - 1 2 t + 3 4 e 2 t + - 1 2 + 1 2 e 2 t - 2 u t - 2

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = - 3 4 - 1 2 t + 3 4 e 2 t + - 1 2 + 1 2 e 2 t - 2 u t - 2

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Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' + y = δ t - 2 π + δ t - 4 π ,y 0 = 1 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' + 16 y = δ t - 2 π ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' + y = δ t - π 2 + δ t - 3 π 2 ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 0
Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas y ' ' + y = δ t - 2 π ,y 0 = 0 ,y ' 0 = 1