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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 6

Nos problemas 1-12, use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas

y ' ' + y = δ t - 2 π + δ t - 4 π ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

Passo 1

Vamo que vamo

Temos essa equação diferencial:

y ' ' + y = δ t - 2 π + δ t - 4 π ,       y 0 = 1 ,   y ' 0 = 0

E para encontrar y ( t ) , vamos usar a transformada de Laplace ta bom, então o passo a passo é: fazer a transformada da equação inteira, isolar Y ( s ) e fazer a transformada inversa do que encontrarmos, fechou?

Ah, só pra lembrar, aqui tem algumas transformadas que podemos utilizar:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L δ ( t + k ) = e k s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora bora lá!

Passo 2

Vamos fazer a transformada da equação:

y ' ' + y = δ t - 2 π + δ t - 4 π

s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 ) + Y s = e - 2 π s + e - 4 π s

Sabemos que y 0 = 1 e y ' 0 = 0 :

s 2 . Y s - s - 0 + Y s = e - 2 π s + e - 4 π s

Y s . s 2 + 1 = e - 2 π s + e - 4 π s + s

Então:

Y s = e - 2 π s + e - 4 π s + s s 2 + 1

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso, beleza?

Passo 3

Temos

Y s = e - 2 π s + e - 4 π s + s s 2 + 1

Y s = e - 2 π s s 2 + 1 + e - 4 π s s 2 + 1 + s s 2 + 1

O e - 2 π s está representando a função degrau u atrasada em 2 π , então tudo que tiver t na primeira fração vai ter um - 2 π depois

O e - 4 π s está representando a função degrau u atrasada em 4 π , então tudo que tiver t na primeira fração vai ter um - 4 π depois

Além disso, o s s ² + 1 ² é a transformada de c o s ( t ) , de acordo com o que vimos lá no passo 1

E o 1 s ² + 1 ² é a transformada de s e n ( t )

Então temos:

y t = s e n t - 2 π u t - 2 π + s e n t - 4 π u t - 4 π + c o s ⁡ ( t )

Mas como a função seno é periódica com período 2 π , temos que s e n t - 2 π = s e n ( t ) e s e n t - 4 π = s e n t - 2.2 π = s e n ( t )

Então podemos escrever:

y t = s e n t u t - 2 π + s e n t u t - 4 π + c o s ⁡ ( t )

Showww, vamos pros próximos!!

Resposta

y t = s e n t u t - 2 π + s e n t u t - 4 π + c o s ⁡ ( t )

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Resolva a equação diferencial do Problema 13 sujeita a y 0 = 0 ,y ' 0 = 0 ,y L = 0 ,y ' L = 0 . Nesse caso, a viga está engastada em ambos os extremos. Veja a figura 7.55.
Se δ ' ( t - t 0 ) é a derivada de função delta de Dirac, então sabemos que L δ ' t - t 0 = s . e - s t 0 , t 0 ≥ 0 . Use esse resultado para resolver y ' + 5 y = δ ' ( t ) sujeita a y 0 = 0
Use a transformada de Laplace e (7) para resolver y ' ' + 2 y ' + 2 y = cos ⁡ t . δ ( t - 3 π ) Sujeita a y 0 = 1 e y ' 0 = - 1
Resolva o problema de valor inicial L d i d t + R i = δ t ,i 0 = 0 Em que L e R são constantes. A solução satisfaz a condição em t = 0 ?