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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 21

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x d 4 y d x 4 + 6 d 3 y d x 3 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x d 4 y d x 4 + 6 d 3 y d x 3 = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

y ' ' ' = m m - 1 m - 2 x m - 3  

y 4 = m m - 1 m - 2 m - 3 x m - 4

Agora a gente vai substituir na EDO pra encontrar m , vamos lá!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x m m - 1 m - 2 m - 3 x m - 4 + 6 m m - 1 m - 2 x m - 3   = 0

x m - 3 m 4 - 7 m 2 + 6 m = 0

Daqui a gente tem que m 4 - 7 m 2 + 6 m = 0 , já que x m - 3 ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 4 - 7 m 2 + 6 m = 0

m m - 1 m - 2 m + 3 = 0

m 1 = 0 ;     m 2 = 1 ;     m 3 = 2 ; m 4 = - 3

Temos quatro raízes diferentes, então a solução é da forma:

y = c 1 x m 1 + c 2 x m 2 + c 3 x m 3 + c 4 x m 4

Então a nossa solução é:

y = c 1 x 0 + c 2 x 1 + c 3 x 2 + c 4 x - 3

y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x - 3

E terminamos! 😉

Resposta

y = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x - 3

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