Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 12
Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.
12.
Passo 1
Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar fazendo as substituições na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:
Aplicando Bháskara:
Então encontramos que:
Como as raízes são reais e distintas teremos a seguinte solução complementar:
Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!
Passo 2
Chamando de o lado direito da nossa equação, então tiramos que:
Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato , o seguinte operador anula nossa função:
No qual é o expoente de e é o operador definido como . No nosso caso temos e , logo um dos nossos operadores será:
E quando temos uma função no formato , o seguinte operador anula nossa função:
Então nosso operador será . Aplicando na nossa equação, teremos:
E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)
Passo 3
Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo , teremos:
Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:
Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:
Observe que o termo é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:
Aqui vale ressaltar que , e , beleza? Top! E então devemos encontrar e para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!
Passo 4
Derivando nossa solução particular:
Substituindo na nossa equação original, teremos:
Como temos uma identidade isso nos dá que:
E encontramos que:
Substituindo na primeira equação:
Portanto temos que nossa solução geral final será:
E essa é a nossa resolução, galera! 😉