Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 21

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

21.

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar fazendo as substituições na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

Então encontramos que:

Como as raízes são complexas teremos a seguinte solução complementar:

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato , o seguinte operador anula nossa função:

No qual é o expoente de e é o operador definido como . No nosso caso temos e , logo o operador será:

Aplicando na nossa equação, teremos:

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo , teremos:

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

Dessa forma, uma solução geral para nosso problema é o seguinte:

Observe que o termo é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

Aqui vale ressaltar que , beleza? Top! E então devemos encontrar e para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!