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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.6 - Ex. 31

Nos problemas 1-32, resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados.

31. 16 y 4 - y = e x 2

Passo 1

Então pessoal, como resolver esses problemas do capítulo 4.6 pelo método dos coeficientes indeterminados? Pois bem, existe uma espécie de passo a passo a ser seguida que facilita bastante nossa vida na hora da resolução. Assim como já estamos acostumados, inicialmente encontramos a equação complementar y c fazendo as substituições y ' ' ' ' = m 4 ,   y ' ' ' = m 3 , y ' ' = m 2 ,   y ' = m   e   y = 1 na nossa equação diferencial. Aplicando na nossa equação, teremos:

16 y 4 - y = e x 2

16 m 4 - 1 = 0

m 4 = 1 16

E então encontramos que:

m 1 = m 2 = 1 2

m 3 = m 4 = - 1 2

Como temos raízes distintas e idênticas ao mesmo tempo, então teremos a seguinte solução complementar, galera:

y c = c 1 e m 1 x + c 2 x e m 2 x + c 3 e m 3 x + c 4 x e m 4 x

y c = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + c 3 e - x 2 + c 4 x e - x 2

Show! Primeira etapa concluída. Guardemos esse resultado!

Passo 2

Chamando de g x o lado direito da nossa equação, então tiramos que:

g x = e x 2

Aqui chegamos em um momento determinante da nossa resolução, pois precisamos aplicar um operador diferencial que anule g x . De acordo com o que vimos na seção em questão, quando temos uma função no formato e a x o seguinte operador anula nossa função:

D - a

No qual D é o operador definido como D y = d y d x e a é a constante que acompanha x no expoente. No nosso caso temos a = 1 2 , logo nosso operador será:

D - 1 2

Aplicando na nossa equação, teremos:

16 y 4 - y = e x 2

16 D 4 y - y = e x 2

16 D 4 - 1 y = e x 2

D - 1 2 16 D 4 - 1 y = 0

E isso nos dá uma nova equação diferencial, viu só? Show de bola! (Ou não ☹)

Passo 3

Como temos uma nova equação diferencial, então vamos encontrar uma equação complementar para ela. Fazendo D 4 = m 4 ,   D 3 = m 3 ,   D 2 = m 2   e   D = m , teremos:

m - 1 2 16 m 4 - 1 = 0

Note que uma parte desse produto já foi resolvido no passo 1, então as raízes são:

m 1 = m 2 = m 3 = 1 2

m 4 = m 5 = - 1 2

Dessa forma, conforme vimos no capítulo inteeeeiro, uma solução geral para nosso problema será a seguinte:

y = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + c 3 e - x 2 + c 4 x e - x 2 + c 5 x 2 e x 2

Observe que o termo c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + c 3 e - x 2 + c 4 x e - x 2 é justamente a solução complementar que encontramos lá no passo 1. Sendo assim, podemos assumir que o que restou é a nossa solução particular, não é mesmo? Logo, teremos:

y p = A x 2 e x 2

Aqui vale ressaltar que A = c 5 , beleza? Top! E então devemos encontrar y p ' ,   y p ' ' ,   y p ' ' '   e   y ' ' ' ' para substituirmos láááá na equação diferencial original para fazermos aquela análise de identidade que já estamos habituados. Sim, a resolução por esse método é bem longa!

Passo 4

Derivando nossa solução particular:

y p ' = A 2 x e x 2 + 1 2 x 2 e x 2

y p ' ' = 2 A 1 . e x 2 + 1 2 x e x 2 + 1 2 A 2 x e x 2 + 1 2 x 2 e x 2

y p ' ' ' = A e x 2 + 2 A 1 . e x 2 + 1 2 x e x 2 + A 2 x e x 2 + 1 2 x 2 e x 2

y p ' ' ' ' = 1 2 A e x 2 + A e x 2 + 3 A 1 . e x 2 + 1 2 x e x 2 + 1 2 A 2 x e x 2 + 1 2 x 2 e x 2

Substituindo na nossa equação original, teremos:

16 y 4 - y = e x 2

16 1 2 A e x 2 + A e x 2 + 3 A 1 . e x 2 + 1 2 x e x 2 + 1 2 A 2 x e x 2 + 1 2 x 2 e x 2 - A x 2 e x 2 = e x 2

8 A e x 2 + 16 A e x 2 + 48 A e x 2 + 24 A x e x 2 + 16 A x e x 2 + 4 A x 2 e x 2 - A x 2 e x 2 = e x 2

Como temos uma identidade isso nos dá que:

A = 1 72

Portanto temos que nossa solução geral final será:

y = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + c 3 e - x 2 + c 4 x e - x 2 + 1 72 x 2 e x 2

E essa é a nossa resolução, galera! 😉

Resposta

y = c 1 e x 2 + c 2 x e x 2 + c 3 e - x 2 + c 4 x e - x 2 + 1 72 x 2 e x 2

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