Enunciado

Mostre que o operador (x D - 1) (D + 4) é diferente do operador (D + 4) (x D - 1) .

Passo 1

Trocando x por y para facilitar nossa visualização, já que estamos acostumados, teremos o seguinte:

(y D - 1) (D + 4)

E:

(D + 4) (y D - 1)

O que vamos fazer para ambos, primeiramente, é realizar a distributiva aplicando em uma função y . Em seguida vamos utilizar o operador para derivar a função escolhida para vermos se os resultados batem!

Bora lá!

Passo 2

Para o primeiro caso temos:

(y D - 1) (D + 4) y = y D^2 y + 4 y D y - D y - 4 y

Como D^2 y = 0 e D y = 1 , então:

(y D - 1) (D + 4) y = y . (0) + 4 y . (1) - 1 - 4 y

(y D - 1) (D + 4) y = 4 y - 1 - 4 y = - 1

Show! Agora para o segundo caso:

(D + 4) (y D - 1) y = (D + 4) (y D y - y)

(D + 4) (y D - 1) = (D + 4) (y . (1) - y)

(D + 4) (y D - 1) = (D + 4) . 0 = 0

Note que os resultados deram diferentes. Sendo assim, provamos que os operadores são distintos, como queríamos!

Resposta

Demonstração.

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