Mostre que o operador (xD - 1)(D + 4) é diferente do operador (D + 4)(xD - 1) .

Passo 1

Trocando x por y para facilitar nossa visualização, já que estamos acostumados, teremos o seguinte:

y D - 1 D + 4

E:

D + 4 y D - 1

O que vamos fazer para ambos, primeiramente, é realizar a distributiva aplicando em uma função y . Em seguida vamos utilizar o operador para derivar a função escolhida para vermos se os resultados batem!

Bora lá!

Passo 2

Para o primeiro caso temos:

y D - 1 D + 4 y = y D 2 y + 4 y D y - D y - 4 y

Como D 2 y = 0   e   D y = 1 , então:

y D - 1 D + 4 y = y . 0 + 4 y . 1 - 1 - 4 y

y D - 1 D + 4 y = 4 y - 1 - 4 y = - 1

Show! Agora para o segundo caso:

D + 4 y D - 1 y = D + 4 y D y - y

D + 4 y D - 1 = D + 4 y . 1 - y

D + 4 y D - 1 = D + 4 . 0 = 0

Note que os resultados deram diferentes. Sendo assim, provamos que os operadores são distintos, como queríamos!

Resposta

Demonstração.

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