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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 27

Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

x d y d x + 3 x + 1 y = e - 3 x

Passo 1

Bom galera vamos lá matar mais um exercício

Temos aqui uma equação diferencial linear, porque ela pode ser escrita no formato d y d x + A x . y = B ( x ) , olha, vamos dividir tudo por x

d y d x + 3 x + 1 x y = e - 3 x x     ( I )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

y x = 1 I x ∫ I x . B x   d x + c     ( I I )

Onde I x = e ∫ A x   d x

Na nossa equação ( I ) , temos A x = 3 x + 1 x e B x = e - 3 x x então:

I x = e ∫ 3 x + 1 x   d x

I x = x . e 3 x

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 2

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( I I ) :

y x = 1 x . e 3 x ∫ x . e 3 x . e - 3 x x   d x + c     ( I I I )

Vamos resolver a integral separadamente:

∫ x . e 3 x . e - 3 x x   d x = ∫ e 0   d x

∫ x . e 3 x . e - 3 x x   d x = x

Substituindo em ( I I I )

y x = 1 x . e 3 x x + c

y x = 1 e 3 x + c x . e 3 x

Com:

0 < x < ∞

Boaaa, foi mais fácil do que parecia né?

Resposta

y x = 1 e 3 x + c x . e 3 x

0 < x < ∞

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Nos problemas 41-54, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.52. s e nx . d y d x + cos ⁡ x . y = 0 , no qual y - π 2 = 1 .