Exercícios de EDO Linear de 1ª Ordem - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 95

01) A temperatura de equilíbrio T(P) em um ponto P de uma chapa circular feita com um material uniforme pode ser escrita em função das coordenadas polares (r, theta) , de P , onde r é a distância entre o ponto P e a origem O e theta é o ângulo formado entre o eixo x e o segmento O P . Temos que theta varia em [0, 2pi] e que r varia em [0, R] , onde R é o raio da chapa. Note que o conjunto dos pontos tais que r é constante formam uma circunferência.

Escrevendo a temperatura em P como produto de duas funções T(P) = y(θ)z(r) , é possível mostrar que as funções y(θ) e z(r) satisfazem as seguintes equações diferenciais:

y''(θ) / -y(tθ) = ν = (r^2 * z''(r) + r * z'(r)) / z(r)

Onde nu é uma constante positiva. O objetivo dessa questão é resolver essas duas equações diferenciais e estudar suas soluções.

a) Mostre que y(θ) satisfaz a equação y''(θ) + νy(t) = 0 . Determine os valores de a > 0 tais que y₁(θ) = cosseno(aθ) e y₂(θ) = sen(aθ) são soluções fundamentais dessa equação.

b) Use o fato de que (r, 0) e (r, 2, pi) representam o mesmo ponto P na chapa, para concluir que y(0) = y(2π) . Use esse fato para concluir que ν = λ^2 , para algum inteiro λ ≥ 0 .

c) Mostre que z(r) satisfaz a equação r^2 * z''(r) + r * z'(r) - λ^2 * z(r) = 0 , r > 0 , conhecida como equação de Euler. Determine os valores de b tais que z(r) = r^b é solução da equação de Euler.

d) Use o item anterior para obter a solução geral da equação de Euler. Verifique que qualquer solução que não é proporcional à solução r^λ possui assíntota vertical em r = 0 .

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