Exercícios de EDO Linear de 1ª Ordem - Lista de Exercícios Resolvida

Encontre a solução do PVI abaixo:

Resolva a seguinte equação diferencial:

Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

Resolva a seguinte equação diferencial linear:

Ache a solução geral da equação seguinte:

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.

A equação diferencial

Tem exatamente duas soluções:

Determine os valores de para os quais a equação diferencial dada tem uma solução da forma .

a)

Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.

c)

Determine a solução geral da equação diferencial:

Considere o problema de valor inicial

1. Resolva este problema para e
2. O problema tem solução para ? Podemos usar o teorema da existência e unicidade para responder esta questão?
3. Justifique que para o problema tem solução.

Resolva a equação no intervalo :

Verifique que a função (ou funções) dada(s) é (são) solução (soluções) da equação diferencial.

a)

Resolva a equação diferencial dada:

d)

01) Considere um circuito onde a força eletromotriz é uma constante , a capacitância é uma constante e a resistência aumenta linearmente, de modo que . Temos que as quedas de tensão no capacitor e na resistência são dadas, respectivamente, por e , onde é a carga no capacitor. A segunda Lei de Kirchoff diz que a soma das quedas de tensão em um circuito é igual à força eletromotriz.

a) Mostre que a carga satisfaz uma equação da forma . Mostre também que a carga constante é uma solução, conhecida como carga estacionária.

Para os próximos itens considere .

b) Encontre uma primitiva de e determine e também .

c) Obtenha a solução geral da equação determinada no primeiro item.

d) Determine a solução com carga inicial . Mostre que, para qualquer carga inicial, após muito tempo decorrido a carga se aproxima da carga estacionária, isto é, mostre que .

Indique qual a resposta correta para a solução geral de uma EDL não homogênea a saber:

( )

( X )

( )

( )

( )

Resolva a equação diferencial

( )

( )

( )

( )

( )

Encontre todas as soluções da EDO:

Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

Resolva os seguintes problemas de valor inicial

b)

Determine os valores de para que a função seja uma solução para a equação diferencial .

O valor numérico de obtido é:

A solução geral da equação diferencial

É (onde )

Encontre a solução de

Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

a)

1. Determine a solução geral explícita da equação diferencial
2. Utilize o resultado do item (a) para obter a solução do problema de valor inicial

Determine a solução geral da equação

Resolva o problema de valor inicial:

No intervalo .

Determine as soluções gerais, explicitas ou implícitas, das equações diferenciais

de 1ª ordem acima, com métodos apropriados para cada caso.

Determine explicitamente, ou indique implicitamente, a solução do problema de

valor inicial para cada equação diferencial de 1ª ordem acima, com a condição inicial :

Julgue em verdadeiro ou falso a seguinte afirmação:

“A equação diferencial é ordinária, não linear e de primeira ordem”

Verdadeiro ou falso?

A solução geral de é:

a)

b)

c)

d) nenhuma das opções

e)

Resolva o problema de valor inicial dado abaixo :

Determine a solução geral das seguintes EDOs:

Determine a solução geral da equação

A solução geral da equação diferencial

É (onde )

Resolva a seguinte equação diferencial ou problema de valor inicial conforme caso abaixo:

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

Questão 1: Seja uma função diferenciável tal que

Então

Seja a equação diferencial . Qual dentre as opções abaixo não é uma solução da equação diferencial proposta, sabendo que y=f(x) ?

( )

( )

( )

( )

( )

Determine e de modo que a função satisfaça as condições iniciais , .

Marque a alternativa que indica a solução do problema de Valor inicial

( )

( )

( )

( )

( )

Dada uma ED ; , indique qual é o único fator de integração correto:

( )

( )

( )

( )

( )

A solução, do problema de valor inicial , é:

Encontre a curva no plano que passa no ponto sabendo que:

Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:

Classifique as equações diferenciais de 1ª ordem abaixo:

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial. Dê o maior intervalo sobre o qual cada solução está definida

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial. Dê o maior intervalo sobre o qual cada solução está definida

Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial

Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial. Dê o maior intervalo sobre o qual cada solução está definida

Encontre o valor de para o qual a solução do problema de valor inicial:

permanece finita quando

A solução geral da equação diferencial abaixo é:

A solução geral da equação diferencial abaixo é:

A solução geral da equação diferencial abaixo é:

A solução do problema de valor inicial é:

A solução do problema de valor inicial é:

A solução geral da equação diferencial abaixo é:

A solução geral da equação diferencial abaixo é:

A solução do problema de valor inicial é:

A solução do problema de valor inicial é:

A solução do problema de valor inicial é:

A solução do problema de valor inicial é:

A solução da equação diferencial é:

Para cada equação abaixo encontre a solução do problema de valor inicial em forma explícita.

f), .

Resolva o problema de valor inicial

, .

E determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Resolva o problema de valor inicial

, .

E determine onde a solução atinge seu valor máximo.

Julgue em verdadeiro ou falso a seguinte afirmação:

“A equação diferencial é ordinária, linear e de segunda ordem”

Verdadeiro ou falso?

Dada a equação diferencial a seguir, complete a frase de forma a deixa-la verdadeira.

“A equação diferencial é...”

Julgue em verdadeiro ou falso a seguinte afirmação:

“A equação diferencial é ordinária, não linear e de primeira ordem”

Verdadeiro ou falso?

Dada a equação diferencial a seguir, complete a frase de forma a deixa-la verdadeira.

“A equação diferencial é...”

Julgue em verdadeiro ou falso a seguinte afirmação:

“A equação diferencial é ordinária, não linear e de quarta ordem”

Verdadeiro ou falso?

Um fator integrante da equação diferencial é:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

Resolva as seguintes equações diferenciais:

Resolva as seguintes equações diferenciais:

Dada a equação diferencial a seguir, complete a frase de forma a deixa-la verdadeira.

“A equação diferencial é...”

2) Resolva o problema de valor inicial, , para EDO

Calcule e de modo que satisfaça as condições dadas:

Explique se tais condições caracterizam um Problema de Valor Inicial ou de Valor de Contorno. Marque a única resposta correta.

04) Num foguete, se o empuxo é uma constante , a taxa de variação de sua massa é constante, de modo que . Se o foguete não atinge uma altura muito elevada, podemos supor que a gravidade é uma constante e que a força de arraste do ar é dada por , proporcional à velocidade do foguete. Segue que a força que atua no foguete é dada por:

Neste caso, a segunda lei de Newton é dada por:

a) Mostre que satisfaz uma equação da forma .

Para os próximos itens considere .

b) Encontre uma primitiva de e determine e também .

c) Obtenha a solução geral da equação determinada no primeiro item.

d) Determine a solução com velocidade inicial . Para que valores de a velocidade está definida?

Considere um circuito RLC onde a força eletromotriz é , a resistência é , a indutância é e a capacitância é . Temos que a queda de tensão no indutor, no capacitor e na resistência é dada, respectivamente, por , onde q(t) é a carga no capacitor. A segunda Lei de Kirchoff afirma que a soma das quedas de tensão num circuito é igual à força eletromotriz.

a) Mostre que a carga no capacitor satisfaz uma EDO linear de segunda ordem.

b) Verifique que e são soluções fundamentais da equação homogênea.

c) Obtenha a solução geral da equação não homogênea. A carga no capacitor tende a zero quando t cresce?

d) Determine a carga q(t) do capacitor se a carga inicial é e a corrente inicial é .

01) A temperatura de equilíbrio em um ponto de uma chapa circular feita com um material uniforme pode ser escrita em função das coordenadas polares , de , onde é a distância entre o ponto e a origem e é o ângulo formado entre o eixo e o segmento . Temos que varia em e que varia em , onde é o raio da chapa. Note que o conjunto dos pontos tais que é constante formam uma circunferência.

Escrevendo a temperatura em como produto de duas funções , é possível mostrar que as funções e satisfazem as seguintes equações diferenciais:

Onde é uma constante positiva. O objetivo dessa questão é resolver essas duas equações diferenciais e estudar suas soluções.

a) Mostre que satisfaz a equação . Determine os valores de tais que e são soluções fundamentais dessa equação.

b) Use o fato de que e representam o mesmo ponto na chapa, para concluir que . Use esse fato para concluir que , para algum inteiro .

c) Mostre que satisfaz a equação , , conhecida como equação de Euler. Determine os valores de tais que é solução da equação de Euler.

d) Use o item anterior para obter a solução geral da equação de Euler. Verifique que qualquer solução que não é proporcional à solução possui assíntota vertical em .

05) Vamos investigar a dinâmica, num dado país, da relação entre a renda produzida no tempo e o capital acumulado até o tempo através do famoso modelo Solow-Swan. Temos que a renda é dada por uma função Cobb-Douglas do capital e do trabalho, de modo que:

E que o capital se acumula por uma taxa de poupança constante positiva e se deprecia a uma taxa constante positiva , de modo que:

Denotando a renda e o capital per capita, respectivamente, por e por , a taxa de crescimento do trabalho por , a razão riqueza pela renda no tempo por e o seu limite quando tende por infinito por , responda os seguintes itens.