Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 37
Nos problemas 1-40, encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.
37.
Passo 1
Então pessoal, para esses problemas da seção 2.5 precisamos lembrar de algumas coisinhas, ok? Essa equação diferencial que nos foi dada é uma equação diferencial linear. O formato dessa equação é esse aqui:
No qual e são funções APENAS de . Caso a função não esteja escrita nesse formato, devemos manipular a equação a fim de deixa-la nesse formato padrão, belê? Show! O lado bom é que esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:
Eu sei, parece assustador essa solução, não é? Prometo que é só impressão!
Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!
Passo 2
A equação que nos foi dada é:
Como queremos escrever no formato:
Então teremos:
Dividindo tudo por :
E então tiramos que:
Show!
Passo 3
Agora que encontramos e vamos substituir na nossa solução geral:
Para as integrais dos expoentes, teremos:
Para resolver essa integral devemos fazer uma substituição simples, saca só:
Substituindo, teremos:
Voltando para :
Substituindo na solução geral:
Utilizando a seguinte propriedade de logaritmos:
Teremos:
Agora utilizando essa outra propriedade de logaritmos:
Teremos:
Beleza! Resolvemos as integrais dos expoentes e simplificamos tudo. Agora que fizemos isso vamos para o último passo (AMÉM)!
Passo 4
O último passo da nossa resolução consiste em, obviamente, resolver essa última integral que aparece aí para complicar nossa vida. A integral é:
Para resolve-la devemos utilizar uma substituição simples, ok? A substituição será:
Substituindo na integral:
Voltando para :
Ok, integral resolvida!
Passo 5
Agora que resolvemos todas as integrais que aparecem no problema (EU SEI, É CANSATIVO), basta substituirmos os resultados na solução geral:
E está aí nosso resultado!
OBS: Note que omitimos a constante arbitrária em todas as integrações que fizemos, mas isso só ocorre porque a constante já aparece na nossa solução geral, tudo bem? Se não aparecesse, precisaríamos colocar todas as constantes, mas ainda bem que não precisamos, não é? hahaha! 😉