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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 17

Nos problemas 1-44, encontre F ( s ) ou f ( t ) como indicado.

L - 1 s s 2 + 4 s + 5

Passo 1

E aíí meus queridos, bora lá!

Queremos encontrar essa transformada inversa de Laplace:

L - 1 s s 2 + 4 s + 5

Vamos então lembrar algumas transformadas que podemos usar:

L y t = Y ( s )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Temos

L - 1 s s 2 + 4 s + 5

Podemos escrever isso assim olha:

L - 1 s s 2 + 4 s + 4 + 1

E aí, fatorando o s 2 + 4 s + 4 , temos:

L - 1 s s + 2 2 + 1

Podemos agora fazer essa manipulação algébrica, pra aí aparecer um s + 2 no numerador também e ficarmos próximos da transformada do cosseno trasladada:

L - 1 s + 2 - 2 ( s + 2 ) ² + 1

L - 1 s + 2 ( s + 2 ) ² + 1 ² - 2 1 ( s + 2 ) ² + 1 ²

Boaaa, então temos a transformada do cosseno e a transformada do seno com translação de duas amostras:

f t = cos ⁡ t . e - 2 t - 2 . s e n t . e - 2 t

E fimmmm!

Resposta

f t = cos ⁡ t . e - 2 t - 2 . s e n t . e - 2 t

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