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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 17

Nos problemas 1-44, encontre F ( s ) ou f ( t ) como indicado.

L^(- 1) {(s)/(s^2 + 4 s + 5)}

Passo 1

E aíí meus queridos, bora lá!

Queremos encontrar essa transformada inversa de Laplace:

L^(- 1) {(s)/(s^2 + 4 s + 5)}

Vamos então lembrar algumas transformadas que podemos usar:

L {y (t)} = Y ( s )

L {1} = (1)/(s)

L {t^n} = (n !)/(s^(n + 1))

L {e^(alpha t)} = (1)/(s - alpha)

L {c o s ( k t )} = (s)/(s^2 + k ²)

L {s e n ( k t )} = (k)/(s^2 + k ²)

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L {e^(alpha) . f (t)} = F ( s - alpha )

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Temos

L^(- 1) {(s)/(s^2 + 4 s + 5)}

Podemos escrever isso assim olha:

L^(- 1) {(s)/(s^2 + 4 s + 4 + 1)}

E aí, fatorando o s^2 + 4 s + 4 , temos:

L^(- 1) {(s)/((s + 2)^2 + 1)}

Podemos agora fazer essa manipulação algébrica, pra aí aparecer um s + 2 no numerador também e ficarmos próximos da transformada do cosseno trasladada:

L^(- 1) {(s + 2 - 2)/(( s + 2 ) ² + 1)}

L^(- 1) {(s + 2)/(( s + 2 ) ² + 1 ²) - 2 (1)/(( s + 2 ) ² + 1 ²)}

Boaaa, então temos a transformada do cosseno e a transformada do seno com translação de duas amostras:

f (t) = cos (t) . e^(- 2 t) - 2 . s e n (t) . e^(- 2 t)

E fimmmm!

Resposta

f (t) = cos (t) . e^(- 2 t) - 2 . s e n (t) . e^(- 2 t)

Ver Outros Exercícios desse livro