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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 16

Nos problemas 1-44, encontre F ( s ) ou f ( t ) como indicado.

L - 1 1 s 2 + 2 s + 5

Passo 1

E aíí meus queridos, bora lá!

Queremos encontrar essa transformada inversa de Laplace:

L - 1 1 s 2 + 2 s + 5

Vamos então lembrar algumas transformadas que podemos usar:

L y t = Y ( s )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Temos

L - 1 1 s 2 + 2 s + 5

Podemos escrever isso assim olha:

L - 1 1 s 2 + 2 s + 1 + 4

E aí, fatorando o s 2 + 2 s + 1 , temos:

L - 1 1 s + 1 2 + 2 ²

Opa opa opa, isso ta bem próximo da transformada do s e n ( 2 t ) mas com uma translação em uma amostra (por causa do s + 1 ). Mas o que falta é termos um 2 no denominador, então vamos multiplicar por 2 em cima e embaixo:

L - 1 1 2 2 s + 1 2 + 2 ²

Ihuuu agora sim!! O termo 2 s + 1 2 + 2 ² é a transformada de Laplace de s e n ( 2 t ) , mas com translação em uma amostra. Então vamos multiplicar nosso f ( t ) por e - t . Assim, temos

f t = 1 2 . e - t . s e n ( 2 t )

E fimmmm!

Resposta

f t = 1 2 . e - t . s e n ( 2 t )

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