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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 16

Nos problemas 1-44, encontre F ( s ) ou f ( t ) como indicado.

L^(- 1) {(1)/(s^2 + 2 s + 5)}

Passo 1

E aíí meus queridos, bora lá!

Queremos encontrar essa transformada inversa de Laplace:

L^(- 1) {(1)/(s^2 + 2 s + 5)}

Vamos então lembrar algumas transformadas que podemos usar:

L {y (t)} = Y ( s )

L {1} = (1)/(s)

L {t^n} = (n !)/(s^(n + 1))

L {e^(alpha t)} = (1)/(s - alpha)

L {c o s ( k t )} = (s)/(s^2 + k ²)

L {s e n ( k t )} = (k)/(s^2 + k ²)

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L {e^(alpha) . f (t)} = F ( s - alpha )

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Temos

L^(- 1) {(1)/(s^2 + 2 s + 5)}

Podemos escrever isso assim olha:

L^(- 1) {(1)/(s^2 + 2 s + 1 + 4)}

E aí, fatorando o s^2 + 2 s + 1 , temos:

L^(- 1) {(1)/((s + 1)^2 + 2 ²)}

Opa opa opa, isso ta bem próximo da transformada do s e n ( 2 t ) mas com uma translação em uma amostra (por causa do s + 1 ). Mas o que falta é termos um 2 no denominador, então vamos multiplicar por 2 em cima e embaixo:

L^(- 1) {(1)/(2) (2)/((s + 1)^2 + 2 ²)}

Ihuuu agora sim!! O termo (2)/((s + 1)^2 + 2 ²) é a transformada de Laplace de s e n ( 2 t ) , mas com translação em uma amostra. Então vamos multiplicar nosso f ( t ) por e^(- t) . Assim, temos

f (t) = (1)/(2) . e^(- t) . s e n ( 2 t )

E fimmmm!

Resposta

f (t) = (1)/(2) . e^(- t) . s e n ( 2 t )

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