Nos problemas 1-44, encontre F ( s ) ou f ( t ) como indicado.

L^(- 1) {(s)/(( s + 1 ) ²)}

Passo 1

E aíí meus queridos, bora lá!

Queremos encontrar essa transformada inversa de Laplace:

L^(- 1) {(s)/(( s + 1 ) ²)}

Vamos então lembrar algumas transformadas que podemos usar:

L {y (t)} = Y ( s )

L {1} = (1)/(s)

L {t^n} = (n !)/(s^(n + 1))

L {e^(alpha t)} = (1)/(s - alpha)

L {c o s ( k t )} = (s)/(s^2 + k ²)

L {s e n ( k t )} = (k)/(s^2 + k ²)

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L {e^(alpha) . f (t)} = F ( s - alpha )

Agora sim, vamos lá!

Passo 2

Temos

L^(- 1) {(s)/(( s + 1 ) ²)}

Vamos expandir em frações parciais:

(s)/(( s + 1 ) ²) = (A)/(( s + 1 )) + (B)/(( s + 1 ) ²)

A . (s + 1) + B = s

A s + (A + B) = s

Então

A = 1 B = - 1

Portanto:

(s)/(( s + 1 ) ²) = (1)/(s + 1) - (1)/(( s + 1 ) ²)

L^(- 1) {(1)/(s + 1) - (1)/(( s + 1 ) ²)}

Temos a transformada de 1 deslocada em uma amostra e a transformada de t deslocada em uma amostra, portanto:

f (t) = e^(- t) - t . e^(- t)

E fimmmm!

Resposta

f (t) = e^(- t) - t . e^(- t)

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