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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 61

Nos problemas 61-64, use o Teorema 7.7 com n = 1

f t = - 1 t L - 1 d d s F s

Para encontrar a transformada de Laplace inversa dada.

L - 1 ln ⁡ s - 3 s + 1

Passo 1

E aí meu caro!! Bora lá?

Temos essa função:

L - 1 ln ⁡ s - 3 s + 1

E precisamos usar o Teorema 7.7, com n = 1 :

f t = - 1 t L - 1 d d s F s

Para encontrarmos essa transformada inversa, bora lá?

Vamos então lembrar algumas transformadas que podemos usar:

L y t = Y ( s )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

L f t - a u ( t - a ) = F s . e - a s

E também pode ser útil a propriedade de translação:

L e α . f t = F ( s - α )

Então vamos lá!

Passo 2

Temos

L - 1 ln ⁡ s - 3 s + 1

Derivando, podemos escrever isso assim:

L - 1 4 ( s - 3 ) ( s + 1 )

Então, nossa transformada inversa vai ser

f t = - 1 t L - 1 4 s - 3 s + 1     ( I )

Belezinha, agora precisamos encontrar a transformada inversa de 4 ( s - 3 ) ( s + 1 ) então e aí depois jogarmos nessa expressão, bora!

Passo 3

Temos

L - 1 4 ( s - 3 ) ( s + 1 )

Expandindo em frações parciais:

4 ( s - 3 ) ( s + 1 ) = A s - 3 + B s + 1

A s + 1 + B s - 3 = 4

s . A + B + A - 3 B = 4

Então:

A + B = 0 A - 3 B = 4 → B = - 1 ,       A = 1

Portanto, podemos escrever assim:

L - 1 1 s - 3 + - 1 s + 1

Usando as regrinhas lá do passo 1, temos que a transformada inversa disso é:

L - 1 d d s F s = e 3 t - e - t

Agora é só jogar na expressão ( I )

Passo 4

Temos

f t = - 1 t L - 1 4 s - 3 s + 1

Onde

L - 1 4 s - 3 s + 1 = e 3 t - e - t

Então:

f t = - 1 t ( e 3 t - e - t )

Boaaaa, terminamos!!

Resposta

f t = - 1 t ( e 3 t - e - t )

Ver Outros Exercícios desse livro