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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 4

Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,   y 2 ,   y 3   ,   y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ .

y ' + 2 x y = x ,     y 0 = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente tem essa equação aqui:

y ' + 2 x y = x

y ' = x - 2 x y

E a gente vai usar o método de Picard para encontrar as funções pedidas.

A questão nos deu y 0 = 0 , então temos x 0 = 0 , y 0 = 0 e f t ,   y n - 1 t =   t - 2 t y n - 1 ( t ) .

Lembrando que a fórmula de Picard é:

y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

Passo 2

Então vamos por partes...

Primeiro vamos encontrar y 1 :

y 1 = 0 + ∫ 0 x t - 2 t ( 0 ) d t

y 1 = ∫ 0 x t   d t

y 1 = t 2 2 0 x

y 1 = x 2 2

Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

Passo 3

Agora y 2 :

y 2 = 0 + ∫ 0 x t - 2 t t 2 2 d t

y 2 = t 2 2 - t 4 4 0 x

y 2 = x 2 2 - x 4 4

Beleza, mais um!

Passo 4

Agora y 3 , vamos lá...

y 3 = 0 + ∫ 0 x t - 2 t t 2 2 - t 4 4 d t

y 3 = t 2 2 - t 4 4 + t 6 12 0 x

y 3 = x 2 2 - x 4 4 + x 6 12

Show! Achamos mais uma!

Passo 5

E agora vamos encontrar y 4 :

y 4 = 0 + ∫ 0 x t - 2 t t 2 2 - t 4 4 + t 6 12 d t

y 4 = t 2 2 - t 4 4 + t 6 12 - t 8 48 0 x

y 4 = x 2 2 - x 4 4 + x 6 12 - x 8 48

Uhul! Mais uma função encontrada!

Passo 6

Agora só falta ver o limite da sequência quando n → ∞ .

Observe que a função y n é uma série de Maclaurin, igual a 1 2 - 1 2 e - x 2 .

E assim, o limite de y n quando n → ∞ é 1 2 - 1 2 e - x 2 .

Terminamos! 😉

Resposta

y 1 = x 2 2

y 2 = x 2 2 - x 4 4

y 3 = x 2 2 - x 4 4 + x 6 12

y 4 = x 2 2 - x 4 4 + x 6 12 - x 8 48

n → ∞   : 1 2 - 1 2 e - x 2

Ver Outros Exercícios desse livro