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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.8 - Ex. 1

Nos Problemas 1-6, use o método de Picard para encontrar y 1 ,   y 2 ,   y 3   ,   y 4 . Determine o limite da sequência { y n x } quando n → ∞ .

y ' = - y ,     y 0 = 1

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, a gente tem essa equação aqui:

y ' = - y

E a gente vai usar o método de Picard para encontrar as funções pedidas.

A questão nos deu y 0 = 1 , então temos x 0 = 0 , y 0 = 1 e f t ,   y n - 1 t =   - y n - 1 ( t ) .

Lembrando que a fórmula de Picard é:

y n x = y 0 + ∫ 0 x   f t ,   y n - 1 t   d t  

Passo 2

Então vamos por partes...

Primeiro vamos encontrar y 1 :

y 1 = 1 - ∫ 0 x y 0 t d t

y 1 = 1 - ∫ 0 x 1   d t

y 1 = 1 - x

Beleza, encontramos y 1 , vamos seguir...

Passo 3

Agora y 2 :

y 2 = 1 - ∫ 0 x 1 - t d t

y 2 = 1 - t - t 2 2 0 x

y 2 = 1 - x + x 2 2

Beleza, mais um!

Passo 4

Agora y 3 , vamos lá...

y 3 = 1 - ∫ 0 x 1 - t + t 2 2 d t

y 3 = 1 - t - t 2 2 + t 3 6 0 x

y 3 = 1 - x + x 2 2 - x 3 6

Show! Achamos mais uma!

Passo 5

E agora vamos encontrar y 4 :

y 4 = 1 - ∫ 0 x 1 - x + x 2 2 - x 3 6 d t

y 4 = 1 - t - t 2 2 + t 3 6 - t 4 24 0 x

y 4 = 1 - x + x 2 2 - x 3 6 + x 4 24

Uhul! Mais uma função encontrada!

Passo 6

Agora só falta ver o limite da sequência quando n → ∞ .

Vemos que as funções seguem um padrão da forma:

y n = 1 - x + x 2 2 - x 3 6 + … + x n n !

Então podemos dizer que o n-ésimo termo da sequência é:

∑ k = 0 n - 1 n x k k !

Que é uma série de Maclaurin, igual a e - x .

E assim, o limite de y n quando n → ∞ é e - x .

Terminamos! 😉

Resposta

y 1 = 1 - x

y 2 = 1 - x + x 2 2

y 3 = 1 - x + x 2 2 - x 3 6

y 4 = 1 - x + x 2 2 - x 3 6 + x 4 24

n → ∞   :   e - x

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