Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 3.2 - Ex. 26
Uma bebida contendo de álcool por litro é bombeada em um tonel que inicialmente contém litros de bebida com de álcool. A taxa de bombeamento é de litros por minuto, enquanto o líquido misturado é drenado a uma taxa de litros por minuto. Encontre quantos litros de álcool há no tanque em qualquer instante. Qual é a porcentagem de álcool no tanque após minutos? Quando o tanque estará vazio?
Passo 1
Então pessoal, para esse tipo de problema de misturas temos que a equação diferencial que descreve a situação é a seguinte:
Ou melhor:
No qual é a quantidade de álcool na mistura após uma quantidade de tempo . Inicialmente temos que descobrir quanto é essa taxa de entrada e quanto é essa taxa de saída, beleza? Show!
Passo 2
A questão nos diz que a bebida contém de álcool por litro e que é misturada em um tonel que contem uma quantidade de bebida que possui de álcool. Sendo assim, a nossa taxa de entrada será:
E a questão nos diz que o líquido misturado é drenado a uma taxa de litros por minuto. Além disso, sabemos que o tonel já possui litros de bebida inicialmente. Criando uma expressão para isso, teremos:
De onde surgiu esse junto com o ? Entram litros e saem , então litro é perdido, certo? E como isso é um processo contínuo, então depende temos uma dependência no tempo, claro. Sendo assim, nossa expressão será:
Então vamos resolver essa equação aí!
Passo 3
O formato dessa equação é:
No qual e são funções APENAS de . Esse tipo de equação tem uma solução geral padrão, que é:
Sendo assim, o que precisamos fazer é definir quem é e quem é e depois resolver essas integrais. Então mãos a obra!
Da nossa expressão tiramos que:
Substituindo na integral, teremos:
Resolvendo a integral do expoente:
Vamos fazer , ok? Disso tiramos que:
Substituindo na integral, teremos:
Voltando para :
Substituindo na nossa solução:
Simplificando:
Passo 4
Agora temos que resolver essa última integral que apareceu aí:
Chamando , teremos:
Substituindo:
Voltando para :
Substituindo na solução:
A questão nos diz que há de álcool em litros de bebida inicialmente, o que nos dá:
Então nossa condição inicial será , ok? Substituindo, teremos:
Então nossa expressão será:
Passo 5
Agora que temos a expressão de ouro, temos que descobrir qual é a porcentagem de álcool no tanque após minutos. Fazendo , teremos:
E essa é a quantidade de álcool depois de uma hora!
Além disso, a questão também pergunta quando o tanque estará vazio. Como sai litro por minuto e o reservatório tem litros inicialmente, então o tanque estará vazio depois de minutos, não é mesmo? A proporção é de pra nesse caso! 😉
Resposta
O tanque estará vazio após minutos.