Resolva -x * y' + y = (y' + 1)^2 sujeito a y(0) = 0 .

Passo 1

Opa! Tudo joia?

A gente vai resolver essa equação aqui:

- x y^' + y = (y^' + 1)^2

y = (y^' + 1)^2 + x y '

Vemos que é uma equação de Clairaut. Pra facilitar, vamos escrever y^' = p :

y = (p + 1)^2 + x p

Passo 2

Derivando...

y^' = 2 (p + 1) (d p)/(d x) + x (d p)/(d x) + p

p = 2 (p + 1) (d p)/(d x) + x (d p)/(d x) + p

2 (p + 1) (d p)/(d x) + x (d p)/(d x) = 0

(d p)/(d x) (2 p + 2 + x) = 0

Pra esse produto zerar, precisamos que:

(d p)/(d x) = 0

ou

2 p + 2 + x = 0

Passo 3

Para a primeira igualdade, temos:

p = C

E aí teremos:

y = (p + 1)^2 + x p

y = (C + 1)^2 + C x

E aí usando o valor inicial, temos:

y (0) = 0

0 = (C + 1)^2 + 0

C = - 1

Daí temos a solução:

y = - x

E essa é solução do PVI 😉

Resposta

y = - x

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