Enunciado
Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 4.7 - Ex. 25
Nos problemas 25-28, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros, sujeita à condição inicial .
25.
Passo 1
Então pessoal, para resolvermos uma equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros precisamos, assim como já estamos acostumados, encontrar duas soluções: a solução complementar e a solução particular. A solução complementar é encontrada da maneira que já conhecemos mesmo, encontrando as raízes da equação característica. Já para encontrarmos a solução particular devemos fazer o seguinte:
Uma vez que encontramos a solução complementar teremos que a função que acompanha é , a função que acompanha é e a função de que fica na direita da nossa equação diferencial é . Identificado isso, precisamos resolver os determinantes Wronskianos abaixo:
Feito isso, depois precisamos integrar as seguintes funções:
Pois a nossa solução particular vai ter o seguinte formato:
Pareceu difícil, galera? Então bora descomplicar isso aí! Praticando alguns exercícios tenho certeza que a ideia vai ficar muuuito mais clara! Chega mais!
Passo 2
Assim como comentamos no passo anterior, a primeira coisa a se fazer é encontrar , certo? Show! Nossa equação é:
Reescrevendo-a no formato padrão:
Fazendo as substituições , teremos:
E então encontramos que:
Como as raízes são reais e distintas então teremos a seguinte solução complementar, galera:
Que nos diz o seguinte:
Topzeeera! Primeira etapa concluída!
Passo 3
Além das funções que identificamos no passo anterior, tendo em vista a equação diferencial que nos foi dada, tiramos que:
Então agora precisamos resolver os determinantes! Se liga:
Agora que determinamos os determinantes, temos que os parâmetros variáveis serão:
Show! Agora só falta integramos isso aí para encontrarmos !
Passo 4
Integrando , teremos:
Agora integrando , teremos:
Logo, tiramos que nossa solução particular será:
Sendo assim, concluímos que nossa solução geral é a seguinte:
Show! No entanto o enunciado quer que encontremos e , e para isso nos deu as condições iniciais:
Aplicando as condições, teremos:
Então nossa solução geral para as condições iniciais dadas será:
E é isso, gente!