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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 56

Nos problemas 51-58, escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada.

56. f t = s e n   t ,   0 ≤ t < 2 π 0 ,   t ≥ 2 π

Passo 1

Então pessoal, de acordo com o que foi discutido na seção em questão, sabemos que a função degrau unitário pode também ser usada para escrever funções definidas por partes em uma forma compacta. Em outras palavras, se temos uma função f t tal que:

f t = g t ,   0 ≤ t < a h t ,   t ≥ a

A mesma pode ser escrita como:

f t = g t - g t u t - a + h t u t - a

Então vamos aplicar essa ideia, ok? Show! Ademais, precisamos nos lembrar das transformações básicas, que são:

a )   L 1 = 1 s

b )   L ( t n ) = n ! s n + 1

c )   L e a t = 1 s - a

d )   L s e n   k t = k s 2 + k 2

e )   L cos ⁡ k t = s s 2 + k 2

f )   L s e n h   k t = k s 2 - k 2

g ) L cosh ⁡ k t = s s ² - k ²  

Então mãos à obra!

Passo 2

Nossa função é:

f t = s e n   t ,   0 ≤ t < 2 π 0 ,   t ≥ 2 π

Comparando com:

f t = g t ,   0 ≤ t < a h t ,   t ≥ a

Teremos:

f t = g t - g t u t - a + h t u t - a

f t = s e n   t - s e n   t . u t - 2 π

Top!

Passo 3

Agora encontrando a transformada de Laplace associada:

L s e n   t - s e n   t . u t - 2 π

Aplicando o Teorema:

L t - a u t - a = e - a s L f t

Teremos:

L s e n   t - s e n   t . u t - 2 π = 1 s 2 + 1 - e - 2 π s s 2 + 1

E está aí nossa transformação! ;)

Resposta

f t = s e n   t - s e n   t . u t - 2 π

L s e n   t - s e n   t . u t - 2 π = 1 s 2 + 1 - e - 2 π s s 2 + 1

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