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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.3 - Ex. 52

Nos problemas 51-58, escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada.

52. f t = 1 ,   ≤ t < 4 0 ,   4 ≤ t < 5 1 ,   t ≥ 5

Passo 1

Então pessoal, de acordo com o que foi discutido na seção em questão, sabemos que a função degrau unitário pode também ser usada para escrever funções definidas por partes em uma forma compacta. Em outras palavras, se temos uma função f t tal que:

f t = g t ,   0 ≤ t < a h t ,   t ≥ a

A mesma pode ser escrita como:

f t = g t - g t u t - a + h t u t - a

Então vamos aplicar essa ideia, ok? Show! Ademais, precisamos nos lembrar das transformações básicas, que são:

a )   L 1 = 1 s

b )   L ( t n ) = n ! s n + 1

c )   L e a t = 1 s - a

d )   L s e n   k t = k s 2 + k 2

e )   L cos ⁡ k t = s s 2 + k 2

f )   L s e n h   k t = k s 2 - k 2

g ) L cosh ⁡ k t = s s ² - k ²  

Então mãos à obra!

Passo 2

Nossa função é:

f t = 1 ,   ≤ t < 4 0 ,   4 ≤ t < 5 1 ,   t ≥ 5

Comparando com:

f t = g t ,   0 ≤ t < a h t ,   t ≥ a

Teremos:

f t = g t - g t u t - a + h t u t - a

f t = 1 - u t - 4 + u t - 5

Top!

Passo 3

Agora encontrando a transformada de Laplace associada:

L 1 - u t - 4 + u t - 5

Aplicando o Teorema:

L t - a u t - a = e - a s L f t

Teremos:

L 1 - u t - 4 + u t - 5 = 1 s - e - 4 s s + e - 5 s s

E está aí nossa transformação! ;)

Resposta

f t = 1 - u t - 4 + u t - 5

L 1 - u t - 4 + u t - 5 = 1 s - e - 4 s s + e - 5 s s

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