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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 1

Nos problemas 1-26, use a Transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário

d y d t - y = 1 ,       y 0 = 0

Passo 1

Oii, como vai? Vamos lá matar esse probleminha

Temos a equação diferencial:

d y d t - y = 1 ,       y 0 = 0

Mas não vamos usar aqueles conceitos antigos para resolver essas equações ok? Vamos utilizar a Transformada de Laplace

Então, vamos fazer a transformada de Laplace da nossa equação, isolar o Y ( s ) e aí depois encontramos a transformada inversa, para termos y ( t )

Mas antes de começarmos, vamos lembrar algumas Transformadas de Laplace:

L y t = Y ( s )

L y ' t = s . Y s - y ( 0 )

L y ' ' t = s 2 . Y s - s . y 0 - y ' ( 0 )

L 1 = 1 s

L t n = n ! s n + 1

L e α t = 1 s - α

L c o s ⁡ ( k t ) = s s 2 + k ²

L s e n ⁡ ( k t ) = k s 2 + k ²

Vamos lá então?

Passo 2

Vamos fazer a Transformada de Laplace da equação:

d y d t - y = 1

s . Y s - y 0 - Y s = 1 s

Sabemos do enunciado que y 0 = 0 , então:

s . Y s - 0 - Y s = 1 s

s . Y s - Y s = 1 s

Colocando Y ( s ) em evidência:

Y s . s - 1 = 1 s

Y s = 1 s . ( s - 1 )

Agora precisamos encontrar a transformada inversa disso ok?

Passo 3

Temos

Y s = 1 s . ( s - 1 )

Expandindo em frações parciais:

1 s . ( s - 1 ) = A s + B s - 1

A s - 1 + B s = 1

Se s = 0 :

A . 0 - 1 = 1 → A = - 1

Se s = 1 :

A . 1 - 1 + B . 1 = 1 → B = 1

Então:

Y s = - 1 s + 1 s - 1

Fazendo a transformada inversa dessas frações separadamente, encontramos:

y t = - 1 + e t

Resposta

y t = - 1 + e t

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