3. Seja T : R -> R uma contração. Prove que T é contínua.

Passo 1

Poxa, vimos no exercício 1 que uma contração nada mais é do que uma função com lambda uma constante entre 0 e 1 que satisfaz o seguinte

|T (x) - T (y)| <= k |x - y|

Onde x e y são valores quais quer.

Poxa, se a gente o que está do outro lado...

|T (x) - T (y)| <= k |x - y| ->

(|T (x) - T (y)|)/(|x - y|) <= k

E aplicar o limite com x tendendo a y (por exemplo):

underset(x -> y)(lim) (|T (x) - T (y)|)/(|x - y|) <= k ->

|underset(x -> y)(lim) (T (x) - T (y))/(x - y)| <= k ->

Essa expressão, do lado esquerdo é a expressão que basicamente defini a derivada de T no ponto y !

|T^' (y)| <= k

Como y é qualquer e k um valor limitado entre 0 e 1 , a derivada também é limitada, e mais ainda: ela existe!

Só o fato de a derivada existir em um ponto y já prova que a função é contínua nesse ponto! Como y é um ponto qualquer do domínio de T , podemos falar que T é contínuo em todo o seu domínio.

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro