Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 5.1 - Ex. 3
3. Seja uma contração. Prove que é contínua.
Passo 1
Poxa, vimos no exercício 1 que uma contração nada mais é do que uma função com uma constante entre e que satisfaz o seguinte
Onde e são valores quais quer.
Poxa, se a gente o que está do outro lado...
E aplicar o limite com tendendo a (por exemplo):
Essa expressão, do lado esquerdo é a expressão que basicamente defini a derivada de no ponto !
Como é qualquer e um valor limitado entre e , a derivada também é limitada, e mais ainda: ela existe!
Só o fato de a derivada existir em um ponto já prova que a função é contínua nesse ponto! Como é um ponto qualquer do domínio de , podemos falar que é contínuo em todo o seu domínio.
Resposta
Questão de demonstração.