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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 3.4 - Ex. 4

Prove que, para todo natural n ≥ 1 ,

ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 + … + ln ⁡ n - 1 ≤ ∫ 1 n ln ⁡ x   d x ≤ ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + … + ln ⁡   n .

Conclua que, para todo n ≥ 1 ,   n - 1 ! e n ≤ e n n ≤ n ! e n .

Passo 1

Inicialmente, vamos perceber uma coisinha, meus lindos:

ln ⁡ 1 ≤ ln ⁡ x ≤ ln ⁡ 2 ,

para 1 ≤ x ≤ 2 .

Ao aplicarmos a integral em todos os membros da equação, evidenciamos:

ln ⁡ 1 ≤ ∫ 1 2 ln ⁡ x dx ⁡ ≤ ln ⁡ 2 .

Vamos fazer a mesma coisa para o seguinte caso:

ln ⁡ 2 ≤ ln ⁡ x ≤ ln ⁡ 3 ,

para 2 ≤ x ≤ 3 .

Ao aplicarmos a integral em todos os membros da equação, evidenciamos:

ln ⁡ 2 ≤ ∫ 2 3 ln ⁡ x dx ⁡ ≤ ln ⁡ 3 .

Vamos somar as inequações:

ln ⁡ 1 ≤ ∫ 1 2 ln ⁡ x dx ⁡ ≤ ln ⁡ 2 .

ln ⁡ 2 ≤ ∫ 2 3 ln ⁡ x dx ⁡ ≤ ln ⁡ 3 .

Temos:

ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 ≤ ∫ 1 2 ln ⁡ x dx + ∫ 2 3 ln ⁡ x dx ⁡ ≤ ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3

Como estudantes espertos e inteligentes, lembramos de uma propriedade das integrais:

∫ a b f x   d x + ∫ b c f x   d x = ∫ a c f x   d x .

Portanto, sabemos:

ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 ≤ ∫ 1 3 ln ⁡ x dx ⁡ ≤ ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 .

Agora, fazendo o mesmo processo para ‘n’ termos, provamos a inequação solicitada pela questão:

ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 + … + ln ⁡ n - 1 ≤ ∫ 1 n ln ⁡ x   d x ≤ ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + … + ln ⁡   n .

Passo 2

Sabemos que:

ln ⁡ 1 + ln ⁡ 2 + … + ln ⁡ n - 1 ≤ ∫ 1 n ln ⁡ x   d x ≤ ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 + … + ln ⁡   n

Lembraremos de outra propriedade, mas agora, de logaritmos:

ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ ( a ∙ b )

Com isso:

ln ⁡   ( 1 ∙ 2 ∙ …   ∙ n - 1 ) ≤ ∫ 1 n ln ⁡ x   d x ≤ ln ⁡   ( 2 ∙ 3 ∙ … ∙ n )

Logo:

ln ⁡   ( n - 1 ! ) ≤ ∫ 1 n ln ⁡ x   d x ≤ ln ⁡   ( n ! )

Resolvendo a integral:

∫ 1 n ln ⁡ x   d x = n ln ⁡ n - 1 + 1 = n ∙ ln ⁡ n - n + 1 = ln ⁡ n n - n + 1

Então:

ln ⁡   n - 1 ! ≤ ln ⁡ n n - n + 1 ≤ ln ⁡   ( n ! )

Vamos somar n - 1 nas inequeações:

ln ⁡   n - 1 ! + n - 1 ≤ ln ⁡ n n ≤ ln ⁡   ( n ! ) + n - 1

ln ⁡   n - 1 ! + ln ⁡ ( e n - 1 ) ≤ ln ⁡ n n ≤ ln ⁡   ( n ! ) + ln ⁡ ( e n - 1 )

ln ⁡   e n - 1 n - 1 ! ≤ ln ⁡ n n ≤ ln ⁡   ( e n - 1 n ! )

Vamos colocar as inequações na base ‘e’, nos fundamentando na seguinte propriedade:

e ln ⁡ a = a

Mãos na massa:

e n - 1 n - 1 ! ≤ n n ≤ e n - 1 n !

Multiplicando por e todos os lados da inequação:

n - 1 ! e n ≤ e n n ≤ n ! e n .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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