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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 7.3 - Ex. 6

6. Sejam a k ,     k ≥ 0 e b k ,   k ≥ 1 , duas sequências numéricas dadas. Suponha que a série

a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x

Convirja uniformemente em - π ,   π . Seja

F x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x

Prove que

a k = 1 π ∫ - π π F x cos ⁡ k x d x ,     k ≥ 0

b k = 1 π ∫ - π π F x sin ⁡ k x d x ,     k ≥ 1

Passo 1

Pegando a função F x

F x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   →

E multiplicando por 1 π cos ⁡ n π ...

1 π F x cos ⁡ n x = a 0 2 π cos ⁡ n x + 1 π cos ⁡ n x ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   →

Integrando de ambos os lados...

1 π ∫ - π π F x cos ⁡ n x d x = ∫ - π π a 0 2 π cos ⁡ n x   d x + ∫ - π π 1 π cos ⁡ n x ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   d x

Então, basicamente temos que provar que essas duas integrais do lado direito resultam em a n , afinal de contas...

1 π ∫ - π π F x cos ⁡ k x d x = a k

Vamos lá!

Passo 2

∫ - π π a 0 2 π cos ⁡ n x   d x + ∫ - π π 1 π cos ⁡ n x ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   d x     →

Como a série é convergente, então podemos inverter a integral com o somatório:

∫ - π π a 0 2 π cos ⁡ n x   d x + ∑ n = 1 ∞ ∫ - π π 1 π a n cos ⁡ n x cos ⁡ n x + 1 π b n sin ⁡ n x cos ⁡ n x d x     →

Vejamos agora quanto vale a primeira integral:

∫ - π π a 0 2 π cos ⁡ n x   d x = a 0 2 π sin ⁡ π - sin ⁡ - π = 0

Agora, para a segunda...

∑ n = 1 ∞ ∫ - π π 1 π a n cos ⁡ n x cos ⁡ n x + 1 π b n sin ⁡ n x cos ⁡ n x d x     →

∑ n = 1 ∞ ∫ - π π 1 π a n cos 2 ⁡ n x   d x + ∫ - π π 1 π b n sin ⁡ n x cos ⁡ n x d x

Como sin ⁡ n x ⋅ cos ⁡ n x é uma função impar (pois o seno é ímpar e o cosseno é par), e estamos integrando em um intervalo simétrico de - π a π , concluímos que essa integral de 1 π b n sin ⁡ n x cos ⁡ n x é 0 :

∫ - π π 1 π b n sin ⁡ n x cos ⁡ n x d x = 0

Falta só verificar quanto vale a integral de...

∫ - π π 1 π a n cos 2 ⁡ n x   d x =

Como cos 2 ⁡ n x é igual a 1 + cos ⁡ 2 n x 2 ...

1 π a n ∫ - π π 1 + cos ⁡ 2 n x 2   d x = 1 π a n 1 2 x + sin ⁡ 2 x π 2 - π π =

a n

Então concluímos que...

1 π ∫ - π π F x cos ⁡ n x d x = ∫ - π π a 0 2 π cos ⁡ n x   d x + ∫ - π π 1 π cos ⁡ n x ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   d x   →

1 π ∫ - π π F x cos ⁡ n x d x = ∑ n = 1 ∞ ∫ - π π 1 π a n cos 2 ⁡ n x   d x + ∫ - π π 1 π b n sin ⁡ n x cos ⁡ n x d x       →

1 π ∫ - π π F x cos ⁡ n x d x = ∑ n = 1 ∞ a n       →

Como n é um valor constante dependendo do termo que você quer obter, não há necessidades dessa série:

1 π ∫ - π π F x cos ⁡ n x d x = a n       : )

Passo 3

Faremos agora a mesma coisa, mas dessa vez

F x = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   →

Multiplicando por 1 π sin ⁡ n π ...

1 π F x sin ⁡ n π = a 0 2 π sin ⁡ n π + 1 π sin ⁡ n π ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   →

Integrando de ambos os lados...

1 π ∫ - π π F x sin ⁡ n π d x = ∫ - π π a 0 2 π sin ⁡ n π   d x + ∫ - π π 1 π sin ⁡ n π ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   d x

Então, basicamente temos que provar que essas duas integrais do lado direito resultam em a n , afinal de contas...

1 π ∫ - π π F x sin ⁡ n π d x = b k

Vamos lá!

Passo 4

∫ - π π a 0 2 π sin ⁡ n π   d x + ∫ - π π 1 π sin ⁡ n π ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   d x     →

Como a série é convergente, então podemos inverter a integral com o somatório:

∫ - π π a 0 2 π sin ⁡ n π   d x + ∑ n = 1 ∞ ∫ - π π 1 π a n sin ⁡ n π cos ⁡ n x + 1 π b n sin 2 ⁡ n x d x     →

Vejamos agora quanto vale a primeira integral:

∫ - π π a 0 2 π sin ⁡ n π   d x = a 0 2 π - cos ⁡ π + cos ⁡ - π = 0

Agora, para a segunda...

∑ n = 1 ∞ ∫ - π π 1 π a n sin ⁡ n π cos ⁡ n x + 1 π b n sin 2 ⁡ n x d x     →

∑ n = 1 ∞ ∫ - π π 1 π a n sin ⁡ n π cos ⁡ n π   d x + ∫ - π π 1 π b n sin 2 ⁡ n x d x

Como sin ⁡ n x ⋅ cos ⁡ n x é uma função impar (pois o seno é ímpar e o cosseno é par), e estamos integrando em um intervalo simétrico de - π a π , concluímos que essa integral de 1 π a n sin ⁡ n x cos ⁡ n x é 0 :

∫ - π π 1 π a n sin ⁡ n π cos ⁡ n π   d x = 0

Falta só verificar quanto vale a integral de...

∫ - π π 1 π b n sin 2 ⁡ n x   d x =

Como sin 2 ⁡ n x é igual a 1 - cos ⁡ 2 n x 2 ...

1 π b n ∫ - π π 1 - cos ⁡ 2 n x 2   d x = 1 π b n 1 2 x - sin ⁡ 2 x π 2 - π π =

b n

Então concluímos que...

1 π ∫ - π π F x sin ⁡ n π d x = ∫ - π π a 0 2 π sin ⁡ n π   d x + ∫ - π π 1 π sin ⁡ n π ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   d x   →

1 π ∫ - π π F x sin ⁡ n π d x = ∫ - π π 1 π sin ⁡ n π ∑ n = 1 ∞ a n cos ⁡ n x + b n sin ⁡ n x   d x       →

1 π ∫ - π π F x sin ⁡ n π d x = ∑ n = 1 ∞ b n       →

Como n é um valor constante dependendo do termo que você quer obter, não há necessidades dessa série:

1 π ∫ - π π F x sin ⁡ n π d x = b n       : )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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