Resolva

(d y)/(d x) = (1 + y^2)/(x) , x > 0

Passo 1

Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis

(d y)/(d x) = g (x) h ( y )

E assim escreve-la da seguinte forma

(d y)/(h (y)) = g (x) d x

Daqui é só um passo para resolvemos.

Passo 2

Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja

(d y)/(d x) = (1 + y^2)/(x) -> (d y)/(1 + y^2) = (d x)/(x)

Agora vamos integrar em ambos os lados.

int (d y)/(1 + y^2) = int (d x)/(x)

Passo 3

Vamos resolver cada lado com os cuidados necessário. Então o lado esquedo:

Tome y = tan t então temos que sua derivada será d y = sec^2 t d t

E sabendo que

cos^2 t + s e n^2 t = 1

Divindo tudo por cos^2 t

1 + tan^2 t = sec^2 t

Ou seja

int (d y)/(1 + y^2) = int (sec^2 t)/(sec^2 t) d t = int d t = t = arctan y

Lembre-se que y = tan t -> t = arctan y

Agora a segunda integral, tome que

int (f^' (x))/(f (x)) d x = ln f (x)

Então

int (d x)/(x) = ln x + c

Ou seja

int (d y)/(1 + y^2) = int (d x)/(x)

arctan y = ln x + c

Podemos terminar assim, ou fazer que

y = tan (ln x + c)

Ambas são feias hahahah

Resposta

y = tan (ln x + c)

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