Resolva

(d x)/(d t) = x^2 - 1

Passo 1

Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis

(d y)/(d x) = g (x) h ( y )

E assim escreve-la da seguinte forma

(d y)/(h (y)) = g (x) d x

Daqui é só um passo para resolvemos.

Passo 2

Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja

(d x)/(d t) = x^2 - 1 -> (d x)/(x^2 - 1) = d t

Agora vamos integrar em ambos os lados.

int (d x)/(x^2 - 1) = int d t

Que “só” precisamos resolver

Passo 3

Vamos trabalhar nossa equação primeiro. Perceba o seguinte

x^2 - 1 = 0

x = +- 1

Ou seja, a equação tem 2 raizes, 1 e - 1 , assim podemos reescrever nossa equação da seguinte forma

x^2 - 1 = ( x + 1 ) ( x - 1 )

Além disso, usando a ideia de frações parciais, fazemos

(1)/(( x + 1 ) ( x - 1 )) = (A)/(x + 1) + (B)/(x - 1) = M M C = (A (x - 1) + B ( x + 1 ))/(( x + 1 ) ( x - 1 ))

Ou seja, pelo primeiro e terceiro termo, temos que

A (x - 1) + B (x + 1) = 1

Mas quais são os valores de A e B para que isso seja verdade?

Tome o momento que x = 1

A (1 - 1) + B (1 + 1) = 1 -> B = (1)/(2)

E agora o momento em que x = - 1

A (- 1 - 1) + B (- 1 + 1) = 1 -> A = - (1)/(2)

Ou seja

(1)/(( x + 1 ) ( x - 1 )) = (- 1)/(2 ( x + 1 )) + (1)/(2 ( x - 1 ))

Passo 4

Agora finalmente voltamos para nossa integral

int (d x)/(x^2 - 1) = - (1)/(2) int (d x)/((x + 1)) + (1)/(2) int (d x)/((x - 1))

E lembrando, ou aprendendo, que

int (f^' (x))/(f (x)) d x = ln f ( x )

Então teremos que cada termo se resume em

- (1)/(2) ln (x + 1) + (1)/(2) ln (x - 1) = (1)/(2) [ln (x - 1) - ln (x + 1)] = (1)/(2) ln ((x - 1)/(x + 1))

Ou seja

(1)/(2) ln ((x - 1)/(x + 1)) = t -> ln ((x - 1)/(x + 1)) = 2 t + c

Passando o l n para o outro lado, ficamos com

|(x - 1)/(x + 1)| = K e^(2 t)

Agora tome que se o valor dentro do módulo for positivo, então

|(x - 1)/(x + 1)| = (x - 1)/(x + 1) = K e^(2 t)

Se for negativo, então

|(x - 1)/(x + 1)| = (1 - x)/(x + 1) = K e^(2 t)

Vamos resolver cada um de uma vez (se não ficamos perdidos)

Passo 5

|(x - 1)/(x + 1)| = (x - 1)/(x + 1) = K e^(2 t)

Passa o denominador para o outro lado

x - 1 = x K e^(2 t) + K e^(2 t)

Deixando x de um lado e o resto do outro

x - x K e^(2 t) = K e^(2 t) + 1

Isolando x

x (1 - K e^(2 t)) = K e^(2 t) + 1

Ou seja

x = (1 + K e^(2 t))/(1 - K e^(2 t))

Agora se tivermos a outra condição, então

|(x - 1)/(x + 1)| = (1 - x)/(x + 1) = K e^(2 t)

E seguimos o mesmo processo

1 - x = x K e^(2 t) + K e^(2 t)

1 - K e^(2 t) = x K e^(2 t) + x

Isolando x

x (K e^(2 t) + 1) = 1 - K e^(2 t)

x = (1 - K e^(2 t))/(1 + K e^(2 t))

Resposta

x = (1 + K e^(2 t))/(1 - K e^(2 t))

Ou

x = (1 - K e^(2 t))/(1 + K e^(2 t))

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