Resolva
Passo 1
Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis
E assim escreve-la da seguinte forma
Daqui é só um passo para resolvemos.
Passo 2
Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja
Agora vamos integrar em ambos os lados.
Que “só” precisamos resolver
Passo 3
Vamos trabalhar nossa equação primeiro. Perceba o seguinte
Ou seja, a equação tem 2 raizes, e , assim podemos reescrever nossa equação da seguinte forma
Além disso, usando a ideia de frações parciais, fazemos
Ou seja, pelo primeiro e terceiro termo, temos que
Mas quais são os valores de e para que isso seja verdade?
Tome o momento que
E agora o momento em que
Ou seja
Passo 4
Agora finalmente voltamos para nossa integral
E lembrando, ou aprendendo, que
Então teremos que cada termo se resume em
Ou seja
Passando o para o outro lado, ficamos com
Agora tome que se o valor dentro do módulo for positivo, então
Se for negativo, então
Vamos resolver cada um de uma vez (se não ficamos perdidos)
Passo 5
Passa o denominador para o outro lado
Deixando de um lado e o resto do outro
Isolando
Ou seja
Agora se tivermos a outra condição, então
E seguimos o mesmo processo
Isolando
Resposta
Ou