Resolva

(d v)/(d t) = v^2 - v

Passo 1

Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis

(d y)/(d x) = g (x) h ( y )

E assim escreve-la da seguinte forma

(d y)/(h (y)) = g (x) d x

Daqui é só um passo para resolvemos.

Passo 2

Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja

(d v)/(d t) = v^2 - v -> (d v)/(v^2 - v) = d t

Agora vamos integrar em ambos os lados.

int (d v)/(v^2 - v) = int d t

O termo da esquerda

int (d v)/(v (v - 1))

Usamos a ideia de frações parciais, fazendo

(1)/(v (v - 1)) = (A)/(v) + (B)/(v - 1) = M M C = (A (v - 1) + B v)/(v ( v - 1 ))

Pelo primeiro e terceiro termo, temos

A (v - 1) + B v = 1

Que deve valer para qualquer v . Assim fazendo primeiro para v = 0 temos

A (- 1) = 1 -> A = - 1

E fazendo v = 1

B = 1

Ou seja

int (d v)/(v (v - 1)) = int (d v)/(v - 1) - int (d v)/(v)

Passo 3

Agora lembremos de calculo 1, quando “aprendemos” que

int (f^' (x))/(f (x)) d x = ln f (x)

Assim temos

int (d v)/(v (v - 1)) = ln ( v - 1 ) - ln v = P r o p L o g = ln ((v - 1)/(v))

Desta forma ficamos finalmente com

ln ((v - 1)/(v)) = t + c

Passando o l n para o outro lado

|(v - 1)/(v)| = e^(t + c) = K e^t

Passo 4

Agora se o valor dentro do nosso módulo for positivo, então

|(v - 1)/(v)| = (v - 1)/(v) = K e^t

O que resolvendo nosso problema a fim de isolar v , fazemos

v - 1 = v K e^t

Trocando os termos de lugar

v - v K e^t = 1

E agora isolando v

v (1 - K e^t) = 1

v = (1)/(1 - K e^t)

Agora se o termo dentro do módulo fosse negativo, então

|(v - 1)/(v)| = (1 - v)/(v) = K e^t

E seguindo o mesmo procedimento

1 - v = v K e^t

1 = v K e^t + v = v ( 1 + K e^t )

Ou seja

v = (1)/(1 + K e^t)

Que são nossas possives solução

Resposta

v = (1)/(1 - K e^t)

Ou

v = (1)/(1 + K e^t)

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