Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0 .)

x ¨ + 4 x = e t sin ⁡ 2 t ,     x 0 = 0   e   x ˙ 0 = 0

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar, como indicado no enunciado, a transformada de Laplace como feito nos exemplos do capítulo, lembrando que:

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ f ' ' t d t = s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - s f 0 - f ' 0

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar aplicando a transformada escrevendo o seguinte:

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ x ¨ + 4 x d t = ∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ cos ⁡ 2 t d t

Aplicando as definições dadas no passo 1 e a tabela de transformadas de Laplace mostrada no capítulo, vamos ter que nossa equação fica:

s 2 ∫ 0 ∞ e - s t x d t + 4 ∫ 0 ∞ e - s t d t = 1 s - 1 2 + 1

Ou, melhor escrevendo,

s 2 + 4 ∫ 0 + ∞ e - s t x d t = 1 s - 1 2 + 1  

chegamos então que:

∫ 0 + ∞ e - s t x d t = 1 s 2 + 4 s 2 - 2 s + 2 .

Bom, dessa forma ainda não conseguimos descobrir qual a provável solução da nossa EDO pela tabela de transformadas. Vamos então reescrever antes os termos da direita da igualdade como:

1 s 2 + 4 s 2 - 2 s + 2 = a s + b s 2 + 4 + m s + n s 2 - 2 s + 2

Onde a ,   b ,   m   e   s são constantes a serem definidas, de forma que:

1 = a s + b ⋅ s 2 - 2 s + 2 + m s + n ⋅ s 2 + 4

1 = a + m s 3 + b - 2 a + n s 2 + ( 2 a - 2 b + 4 m ) s + 2 b + 4 n

Isso nos da o seguinte sistema:

a + m = 0 - 2 a + b + n = 0 2 a - 2 b + 4 m = 0 2 b + 4 n = 1

Chegando que a = 1 10 ,   m = - 1 10 ,   b = - 1 10   e   n = - 3 10 . Substituindo, ficamos com

1 s 2 + 4 s 2 - 2 s + 2 = s 10 ⋅ s 2 + 4 - 2 2 0 ⋅ s 2 + 4 - s - 1 10 s - 1 2 + 1 + 2 10 s - 1 2 + 1

Isso resulta que:

x = 1 10 ⋅ cos ⁡ 2 t - 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 t - e t cos ⁡ t + 2 e t sin ⁡ t .

Pela tabela da transformada de Laplace.

Resposta

x = 1 10 ⋅ cos ⁡ 2 t - 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 t - e t cos ⁡ t + 2 e t sin ⁡ t

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