Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0 .)

x ¨ + 4 x = cos ⁡ 2 t ,     x 0 = 0   e   x ˙ 0 = 0

Passo 1

Nesse problema vamos aplicar, como indicado no enunciado, a transformada de Laplace como feito nos exemplos do capítulo, lembrando que:

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ f ' t d t = s ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - f 0

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ f ' ' t d t = s 2 ∫ 0 + ∞ e - s t f t d t - s f 0 - f ' 0

Passo 2

Bem, como dito no passo 1, vamos começar aplicando a transformada escrevendo o seguinte:

∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ x ¨ + 4 x d t = ∫ 0 + ∞ e - s t ⋅ cos ⁡ 2 t d t

Aplicando as definições dadas no passo 1 e a tabela de transformadas de Laplace mostrada no capítulo, vamos ter que nossa equação fica:

s 2 ∫ 0 ∞ e - s t x d t + 4 ∫ 0 ∞ e - s t d t = s s 2 + 2

Ou, melhor escrevendo,

s 2 + 4 ∫ 0 + ∞ e - s t x d t = s s 2 + 2  

chegamos então que:

∫ 0 + ∞ e - s t x d t = s ( s 2 + 2 ) s 2 + 4 .

Bom, dessa forma ainda não conseguimos descobrir qual a provável solução da nossa EDO pela tabela de transformadas. Vamos então reescrever antes os termos da direita da igualdade como:

s ( s 2 + 2 ) s 2 + 4 = a s + b s 2 + 2 + m s + n s 2 + 4

Onde a ,   b ,   m   e   s são constantes a serem definidas, de forma que:

1 = a s + b ⋅ s 2 + 4 + m s + n ⋅ s 2 + 2

1 = a s 3 + 4 a s + b s 2 + 4 b + m s 3 + 2 m s + n s 2 + 2 n

1 = a + m s 3 + b + n s 2 + ( 4 a + 2 m ) s + 4 b + 2 n

Isso nos da o seguinte sistema:

a + m = 0 b + n = 0 4 a + 2 m = 0 4 b + 2 n = 1

Chegando que a = 0 ,   m = 0 ,   b = - 1 2   e   n = - 1 2 . Substituindo, ficamos com

s ( s 2 + 2 ) s 2 + 4 = - 1 2 ⋅ s 2 + 2 - 1 2 ⋅ s 2 + 4

Isso resulta que:

x = - 1 2 ⋅ 2 2 ⋅ sin ⁡ 2 t + 1 4 ⋅ sin ⁡ 4 t .

Pela tabela da transformada de Laplace.

Resposta

x = - 1 2 ⋅ 2 2 ⋅ sin ⁡ 2 t + 1 4 ⋅ sin ⁡ 4 t

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