Resolva

(d x)/(d t) = (x)/(t) + t , t > 0

Passo 1

Meus queridos e minhas queridas:

Notem que não há como isolar as variáveis em ambos os lados da equação.

Para resolvermos, precisamos fazer uso do seguinte artifício:

As soluções da equação:

(d y)/(d x) = f (x) y + g ( x )

São dadas pela fórmula:

y = e^(int f (x) d x) * [k + int g (x) e^(- int f (x) d x) d x]

Portanto, mãos a massa!

Sendo a equação:

(d x)/(d t) = (1)/(t) x + t

Vamos alterar as variáveis com o único intuito de que vocês não confundam a fórmula com a questão proposta!

(d y)/(d x) = (1)/(x) y + x

Sabemos que:

{[[f (x) = (1)/(x)],[g (x) = x]])

Vamos lá!

y = e^(int (1)/(x) d x) * [k + int x e^(- int (1)/(x) d x) d x]

y = e^(ln x) * [k + int x e^(- ln x) d x]

y = e^(ln x) * [k + x]

y = k e^(ln x) + x e^(ln x)

OBS: Lembrem-se que:

a^(log_a b) = b

Portanto:

e^(ln x) = x

Aplicando:

y = k x + x^2

Lembrem-se de retornar as variáveis originais!!!

x = k t + t^2

Resposta

x = k t + t^2

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