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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol. 4 - Ed: 5º - Capítulo 13.8 - Ex. 1c

1. Resolva a equação dada

C - y^(' ') = - (6)/(x^2) y , x > 0

Passo 1

Repare que podemos multiplicar a equação por x^2 ...

x^2 y^(' ') = - 6 y ->

x^2 y^(' ') + 6 y = 0

Essa é uma EDO de Euler Cauchy, como esta daqui:

x^2 y^(' ') + alpha x y^' + beta y = 0

Porém, no nosso caso, alpha = 0 e beta = 6 . A equação característica que precisamos resolver é:

r^2 + (alpha - 1) r + beta = 0

Então substituindo os valores de alpha e beta do nosso caso...

r^2 + (0 - 1) r + 6 = 0 ->

r^2 - r + 6 = 0

Resolvendo essa equação característica por Báskara:

r = (1 +- sqrt((- 1)^2 - 4 * 6))/(2) ->

r = (1 +- sqrt(- 23))/(2) ->

r = (1 +- sqrt(23) * sqrt(- 1))/(2) ->

r = (1 +- sqrt(23) i)/(2) ->

r = (1)/(2) +- (sqrt(23))/(2) i

Onde i é a unidade imaginária sqrt(- 1) , ok? De acordo com a nossa teoria, a resposta da EDO homogênea então será:

y = x^(lambda) (c_1 cos (mu ln x) + c_2 sin (mu ln x)) ->

Onde lambda e mu vem da resposta imaginária r = lambda +- mu i . Ou seja, no nosso caso teremos:

y = x^(1 // 2) (c_1 cos ((sqrt(23))/(2) ln x) + c_2 sin ((sqrt(23))/(2) ln x))

Resposta

y = x^(1 // 2) (c_1 cos ((sqrt(23))/(2) ln x) + c_2 sin ((sqrt(23))/(2) ln x))

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