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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios de Revisão - Ex. 17

Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição.

d y d x + x y 3 s e c 1 y 2 = 0

Passo 1

Opa! Tudo joia?

A gente vai resolver essa equação aqui:

d y d x + x y 3 s e c 1 y 2 = 0

Vamos dividir tudo por y 3 s e c   1 y 2 :

1 y 3 cos ⁡ 1 y 2 d y d x + x = 0

Agora temos uma EDO separável, mas vamos melhorar as coisas...

Passo 2

Vamos fazer uma substituição:

u = 1 y 2

Daqui temos que:

- 1 2 d u d x = 1 y 3 d y d x

Substituindo na nossa EDO, temos:

- 1 2 cos ⁡ u d u d x + x = 0

cos ⁡ u   d u = 2   x   d x

Agora podemos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando os dois lados:

∫ cos ⁡ u   d u = ∫ 2 x   d x

sen ⁡ u = x 2 + C

Como u = 1 / y 2 , temos:

sen ⁡ 1 y 2 - x 2 = C

E terminamos por aqui 😉

Resposta

sen ⁡ 1 y 2 - x 2 = C

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