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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 04a

Resolva a equação diferencial por dois métodos:

a)Use um fator de integração

x + 1 x d y d x + y = 0

Passo 1

Para verificar que a equação é de primeira orem em y , devemos primeiro arrumá-la da forma:

d y d x + P x y = Q ( x )

Dividindo todos os termos por x + 1 x (podemos fazer isso pois essa expressão é sempre diferente de zero) a equação fica assim:

d y d x + y x + 1 x = d y d x + y x 2 + 1 x = d y d x + x y x 2 + 1 = 0

Agora temos o formato que queríamos, com P x = x x 2 + 1 e Q x = 0 . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ x x 2 + 1 d x

Podemos fazer a substituição u = x 2 + 1 , que nos dá d u = 2 x   d x ⇒ d x = d u 2 x . A integral fica então:

∫ x x 2 + 1 d x = ∫ x u d u 2 x = 1 2 ∫ d u u = ln ⁡ u 2 + k = ln ⁡ x 2 + 1 2 + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e ln ⁡ x 2 + 1 2 = e ln ⁡ x 2 + 1 1 2 = x 2 + 1 1 2

Multiplicando a equação diferencial por x 2 + 1 :

x 2 + 1 d y d x + x x 2 + 1 x 2 + 1 y = 0 ⇒ x 2 + 1 d y d x + x x 2 + 1 y = 0

Passo 3

Como d x 2 + 1 d x = 1 2 x 2 + 1 2 x = x x 2 + 1 , temos:

x 2 + 1 d y d x + d ( x 2 + 1 ) d x   y = 0 ⇒ d y x 2 + 1 d x = 0

Agora integrando:

∫ d y x 2 + 1 d x = C ⇒ y x 2 + 1 = C ⇒ y = C x 2 + 1

Resposta

y = C x 2 + 1

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