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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 05

Ache a solução completa para a equação diferencial:

d y d x - y = e x

Passo 1

Podemos verificar que a equação diferencialé de primeira ordem em y , pois está na forma

d y d x + P x y = Q ( x )

com P x = - 1 e Q x = e x . O fator de integração pelo qual devemos multiplicar a equação é então e ∫ P x d x .

Passo 2

Calculamos o fator de integração:

∫ P x d x = ∫ - 1 d x = - x + k

O fator de integração é então:

e ∫ P x d x = e - x

Multiplicando a equação diferencial por e - x :

e - x   d y d x - y e - x = 1

Passo 3

Como d e - x d x = - e - x , temos:

e - x d y d x + d ( e - x ) d x   y = 1 ⇒ d y e - x d x = 1

Agora integrando:

∫ d ( y e - x ) = ∫ 1 d x ⇒ y e - x = x + C ⇒ y = x e x + C e x

Resposta

y = x e x + C e x

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