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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.2 - Ex. 9

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - y ' = x e x ,     y 0 = 2 ,     y ' 0 = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 - r = 0

Resolvendo, temos que:

r r - 1 = 0

Podemos dizer que as raízes são:

r 1 = 0

r 2 = 1

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 e 0 + c 2 e x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = x e x

Temos que:

y p = A x + B e x

y p = A x e x + B e x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = A e x + A x e x + B e x

y p ' = A x e x + A + B e x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = A e x + A x e x + A e x + B e x

y p ' ' = A x e x + 2 A + B e x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' - y p ' = x e x

A x e x + 2 A + B e x + A x e x + A + B e x   = x e x

2 A x e x + 3 A + 2 B e x = x e x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

2 A = 1

A = 1 2

3 A + 2 B = 0

2 B = - 3 2

B = - 3 4

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 2 x e x - 3 4 e x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 + c 2 e x + 1 2 x e x - 3 4 e x

Passo 5

Como temos valores iniciais, podemos encontrar c 1 e c 2 .

Temos que:

y ' x = c 2 e x + 1 2 e x + 1 2 x e x - 3 4 e x

y ' x = c 2 e x + 1 2 x e x - 1 4 e x

Aplicando nos pontos, temos que:

y 0 = c 1 + c 2 e 0 + 1 2 0 e 0 - 3 4 e 0

y 0 = c 1 + c 2 - 3 4

Como y 0 = 2 , temos que:

c 1 + c 2 = 2 + 3 4

c 1 + c 2 = 11 4

Temos também que:

y ' 0 = c 2 e 0 + 1 2 0 e 0 - 1 4 e 0

y ' 0 = c 2 - 1 4

Como y ' 0 = 1 , temos que:

c 2 = 1 + 1 4

c 2 = 5 4

Portanto, temos:

c 1 = 11 4 - c 2

c 1 = 11 4 - 5 4

c 1 = 6 4 = 3 2

Portanto, nossa solução será:

y x = 3 2 + 5 4 e x + 1 2 x e x - 3 4 e x

Resposta

y x = 3 2 + 5 4 e x + 1 2 x e x - 3 4 e x

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