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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.4 - Ex. 8

Encontre a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ .

D   é   l i m i t a d a   p o r   y = x + 2   e     y = x 2 ; ρ x , y = k x 2

Passo 1

Fala, galerinha! Tudo Tranquilo?

A questão quer a massa m e o centro de massa x - ,   y - da lâmina com densidade:

ρ x , y = k x 2 Ocupando a região D , onde:

D é limitada por   y = x + 2   e     y = x 2

Para encontrar a massa da lâmina aplicamos a integral:

m = ∬ D ρ x , y d A

E para o centro de massa precisamos achar o valor de:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

E:

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Então, nosso objetivo é calcular essas 3 integrais, primeiro calculando seus limites de integração, que vamos tirar da região D .

Lembrando que:

d A = d x   d y

Vamo lá!

Passo 2

Procurando os limites de integração das nossas integrais para x e y , temos:

D   é   l i m i t a d a   p o r   y = x + 2   e     y = x 2

Os limites de y são de x 2 a x + 2 . Vamos encontrar os limites de x , substituindo uma equação na outra para acharmos as intersecções entre os limites de y e de x :

Como, substituímos y em uma função pela outra:

y = x 2 ,   y = x + 2

Então, ficamos com:

x 2 = x + 2

x 2 - x - 2 = 0

Analisando por baskara, temos que:

x = - 1 ou x = 2

Que são as duas raízes da equação de segundo grau. Então significa que:

- 1 ≤ x ≤ 2

Passo 3

Agora que sabemos os limites podemos limitar a nossa integral. A massa da lâmina é dada por:

m = ∬ D ρ x , y d A

Observando novamente aos limites, podemos dizer que:

D = - 1 ≤ x ≤ 2 ,   x 2 ≤ y ≤ x + 2

A nossa integral vai ser:

m = ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k x 2 d y d x

Resolvendo primeiro a integral de dentro temos:

∫ x 2 x - 2 k x 2 d y = k x 2 y x 2 x + 2

Aplicando os limites de integração:

∫ x 2 x - 2 k x 2 d y = k x 2 x + 2 - x 2

Multiplicando o x 2 para dentro dos nossos colchetes:

∫ x 2 x - 2 k x 2 d y = k x 3 + 2 x 2 - x 4

Substituindo na integral de fora, temos:

m = ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k x 2 d y d x = ∫ - 1 2 k x 3 + 2 x 2 - x 4 d x

Resolvendo, temos:

m = ∫ - 1 2 k x 3 + 2 x 2 - x 4 d x = k x 4 4 + 2 x 3 3 - x 5 5 - 1 2

Aplicando os limites de integração:

m = k - 1 5 32 + 1 + 1 4 16 - 1 + 2 3 8 + 1

m = k - 33 5 + 15 4 + 6 = k 63 20

Portanto a massa da lâmina é:

m = 63 k 20

Passo 4

O centro de massa da lâmina que ocupa a região D e que possui função de densidade ρ x , y é:

x - = 1 m ∬ D x ρ x , y d A

y - = 1 m ∬ D y ρ x , y d A

Aqui, m é justamente nossa massa, que acabamos de achar no passo anterior. Resolvendo x - , temos:

Resolvendo x - , temos:

x - = 1 63 k 20 ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k x 3 d y d x

Fazendo a divisão de frações da constante para fora da nossa integral:

x - = 20 63 k ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k x 3 d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

x - = 20 63 k ∫ x 2 x + 2 k x 3 d y

x - = 20 63 k ∫ x 2 x + 2 k x 3 y x 2 x + 2 d y

Aplicando os limites de integração:

x - = 20 k 63 k ∫ - 1 2 x 3 x + 2 - x 2   d x

Agora a integral de fora:

x - = 20 63 - 1 6 x 6 + 1 5 x 5 + 1 2 x 4 - 1 2

Aplicando os limites de integração:

x - = 20 63 - 1 6 64 - 1 + 1 5 32 + 1 + 1 2 16 - 1

x - = 20 63 18 5

Então, a coordenada de x do nosso ponto do centro de massa da lâmina será:

x - = 8 7

Passo 5

Vamos fazer o mesmo para encontrar y - , resolver:

y - = 1 63 k 20 ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k x 2 y d y d x

Fazendo a divisão de frações da constante para fora da nossa integral:

y - = 20 63 k ∫ - 1 2 ∫ x 2 x + 2 k x 2 y d y d x

Resolvendo a integral de dentro:

y - = 20 63 k ∫ x 2 x + 2 k x 2 y d y

y - = 20 63 k ∫ x 2 x + 2 k x 2 y 2 2 x 2 x + 2 d y

Aplicando os limites de integração:

y - = 20 k 63 k ∫ - 1 2 x 2 2 x + 2 2 - x 2 2   d x

Abrindo as fatorações:

y - = 10 k 63 k ∫ - 1 2 x 2 - x 4 + x 2 + 4 x + 4   d x

Agora a integral de fora:

y - = 10 63 - 1 7 x 7 + 1 5 x 5 + x 4 + 4 3 x 3 - 1 2

Aplicando os limites de integração:

y - = 10 63 - 1 7 128 + 1 + 1 5 32 + 1 + 1 16 - 1 + 4 3 8 + 1

y - = 10 63 531 35

Então, a coordenada de y do nosso ponto do centro de massa da lâmina será:

y - = 118 49

Portanto o centro de massa é o ponto:

8 7 , 118 49

Resposta

m = 63 k 20

x - ,   y - = 8 7 , 118 49

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Encontre a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap e l a sc u r v a sy = 0ey = cos ⁡ x , - π 2 ≤ x ≤ π 2 ; ρ x , y = y é
Encontre a massa e o centro de massa da lamina que ocupa a região D e é dada pela função da densidade ρ . Dél i m i t a d ap o ry = 1 - x 2e y = 0 ; ρ x , y = k y é