Determine se F é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f .

F → x ,   y = y e x i ^ + e x + e y j ^

Passo 1

Faala, pessoal!

Nessa questão, precisamos determinar se um dado campo vetorial é conservativo!

F → x ,   y = y e x i ^ + e x + e y j ^

Pra isso, vamos usar o seguinte: dado um campo

F → x , y = F 1   i ^ + F 2   j ^

Ele vai ser conservativo se:

∂ F 1 ∂ y = ∂ F 2 ∂ x

Então nossa missão vai ser calcular essas derivadas parciais e checar se são iguais.

Caso seja conservativo, existe uma função f tal que F → = ∇ f , e vamos precisar descobrir quem é ela.

Se essa função existir, temos que:

F 1 = f x

F 2 = f y

E ai, vamos pegar F 1 = f x e integrar em função de x , isso vai dar f , só que vai ter uma constante de integração (que depende de y , já que integramos só em função de x ).

Pra descobrir essa constante, podemos derivar esse f em função de y e igualar a F 2 = f y .

Passo 2

Nossa função é:

F → x ,   y = y e x i ^ + e x + e y j ^

Pra calcular as derivadas parciais, derivamos em função de uma variável, considerando a outra constante.

∂ F x ∂ y = ∂ y e x ∂ y = e x

∂ F y ∂ x = ∂ ( e x + e y ) ∂ x = e x

Como as derivadas parciais deram iguais, então podemos concluir que F → é conservativo!

Passo 3

Como é conservativo, podemos achar um f tal que F → = ∇ f

Primeiro, integramos F 1 = f x em função de x :

f = ∫ y e x d x

= y e x + g y

Lembrando que essa constante de integração g y depende de y , porque é constante em função de x !

Agora se derivarmos essa expressão, vamos achar F 2 = f y :

f y = ∂ y e x ∂ y + g ' y

Como isso é igual ao F 2 = e x + e y :

e x + e y = e x + g ' y

⇒ g ' y = e y

Então:

g y = e y + C

Onde C é uma constante qualquer. Então achamos f :

f = y e x + e y + C

Resposta

f = y e x + e y + C

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