Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.3 - Ex. 6
Determine se é ou não um campo vetorial conservador. Se for, determine uma função tal que .
Passo 1
Faala, pessoal!
Nessa questão, precisamos determinar se um dado campo vetorial é conservativo!
Pra isso, vamos usar o seguinte: dado um campo
Ele vai ser conservativo se:
Então nossa missão vai ser calcular essas derivadas parciais e checar se são iguais.
Caso seja conservativo, existe uma função tal que , e vamos precisar descobrir quem é ela.
Se essa função existir, temos que:
E ai, vamos pegar e integrar em função de , isso vai dar , só que vai ter uma constante de integração (que depende de , já que integramos só em função de ).
Pra descobrir essa constante, podemos derivar esse em função de e igualar a .
Passo 2
Nossa função é:
Pra calcular as derivadas parciais, derivamos em função de uma variável, considerando a outra constante.
Como as derivadas parciais deram iguais, então podemos concluir que é conservativo!
Passo 3
Como é conservativo, podemos achar um tal que
Primeiro, integramos em função de :
Lembrando que essa constante de integração depende de , porque é constante em função de !
Agora se derivarmos essa expressão, vamos achar :
Como isso é igual ao :
Então:
Onde é uma constante qualquer. Então achamos :