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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 17.2 - Ex. 7

Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.

y ' ' - 2 y ' + 5 y = sen ⁡ x ,     y 0 = 1 ,     y ' 0 = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A equação auxiliar da parte homogênea é:

r 2 - 2 r + 5 = 0

Resolvendo, temos que:

r = 2 ± 4 - 20 2

r = 2 ± 4 i 2

Podemos dizer que as raízes são:

r = 1 ± 2 i

Como as raízes têm partes reais e complexas, a solução geral da EDO é da seguinte forma:

y h = c 1 e x cos ⁡ ( 2 x ) + c 2 e x sen ⁡ 2 x

Onde c 1 e c 2 são constantes.

Passo 2

Vamos analisar a parte particular agora. Seja:

G x = sen ⁡ x

Temos que:

y p = A cos ⁡ x + B sen ⁡ x

Derivando y p em relação a x , temos:

y p ' = - A sen ⁡ x + B cos ⁡ x

Derivando novamente, temos que:

y p ' ' = - A cos ⁡ x - B sen ⁡ x

Passo 3

Agora vamos substituir na EDO.

y p ' ' - 2 y p ' + 5 y p = sen ⁡ x

- A cos ⁡ x - B sen ⁡ x - 2 - A sen ⁡ x + B cos ⁡ x + 5 A cos ⁡ x + B sen ⁡ x = sen ⁡ x

4 A - 2 B cos ⁡ x + 2 A + 4 B sen ⁡ x = sen ⁡ x

Comparando os coeficientes de termos semelhantes dos dois lados, temos que:

4 A - 2 B = 0

2 A = B

2 A + 4 B = 1

10 A = 1

A = 1 10

B = 1 5

Passo 4

Portanto, a solução particular é y p = 1 10 cos ⁡ x + 1 5 sen ⁡ x .

A solução geral é dada por:

y = y h + y p

Portanto:

y = c 1 e x cos ⁡ ( 2 x ) + c 2 e x sen ⁡ 2 x + 1 10 cos ⁡ x + 1 5 sen ⁡ x

Passo 5

Como temos valores iniciais, podemos encontrar c 1 e c 2 .

Temos que:

y ' x = c 1 e x cos ⁡ 2 x - 2 e x sen ⁡ 2 x + c 2 e x sen ⁡ 2 x + 2 e x cos ⁡ 2 x - 1 10 sen ⁡ x + 1 5 cos ⁡ x

Aplicando nos pontos, temos que:

y 0 = c 1 e 0 cos ⁡ ( 0 ) + c 2 e 0 sen ⁡ 0 + 1 10 cos ⁡ 0 + 1 5 sen ⁡ 0

y 0 = c 1 + 1 10

Como y 0 = 1 , temos que:

c 1 + 1 10 = 1

c 1 = 9 10

Temos também que:

y ' 0 = c 1 e 0 cos ⁡ 0 - 2 e 0 sen ⁡ 0 + c 2 e 0 sen ⁡ 0 + 2 e 0 cos ⁡ 0 - 1 10 sen ⁡ 0 + 1 5 cos ⁡ 0

y ' 0 = c 1 + 2 c 2 + 1 5

y ' 0 = 9 10 + 1 5 + 2 c 2

Como y ' 0 = 1 , temos que:

9 10 + 1 5 + 2 c 2 = 1

c 2 = - 1 20

Portanto, nossa solução será:

y x = 9 10 e x cos ⁡ ( 2 x ) - 1 20 e x sen ⁡ 2 x + 1 10 cos ⁡ x + 1 5 sen ⁡ x

Resposta

y x = 9 10 e x cos ⁡ ( 2 x ) - 1 20 e x sen ⁡ 2 x + 1 10 cos ⁡ x + 1 5 sen ⁡ x

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