Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.6 - Ex. 5
Determine se a série é absolutamente convergente ou condicionalmente convergente.
Passo 1
Oi, galera! Tudo joia?
A questão quer que a gente defina se nossa série é absolutamente convergente ou condicionalmente:
Podemos dizer que uma série é absolutamente convergente se a série de valores absolutos for convergente.
Vamos tentar entender se isso ocorre com a série que nos foi dada!
Bora pro próximo passo.
Passo 2
O que precisamos fazer aqui é achar a convergência de :
Para isso podemos usar o método do Teste da Comparação. Relembrando como funciona: nós achamos uma série que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa sequência dada no enunciado. Se for convergente e para todo , então também será convergente.
E a sequência que vamos escolher, tem que ser uma que converge. Vamos pegar então a série:
Que converge pelo teste da série geométrica, já que aqui temos o raio da série como e séries geométricas convergem quando .
Passo 3
Para mostrarmos a desigualdade, e chegar onde precisamos, vamos começar de uma verdade que todo mundo sabe:
E então dividimos os dois lados por :
E pronto, mostramos que a sequência , que converge, é maior que a sequência . Então a nossa série é absolutamente convergente.
Resposta
Absolutamente convergente