Resolva a equação x ¨ + ω 2 x = sen ⁡ ω t onde ω ≠ 0 é um real dado. (Ressonância)

x t = A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t x p t = - 1 2 ω t cos ⁡ ω t

Enunciado

A solução geral que estamos buscando é da forma

Onde é a solução homogênea e a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas

Substituindo na equação temos

Colocando em evidência

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

Portanto a solução homogênea é da forma

Onde e são constantes reais, ou .

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é .

Temos então como entrada um seno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo e como é solução da equação homogênea, então

Calculando as derivadas

Substituindo então na equação

Perceba que os componentes que contém são cancelados e ficamos com

E temos

E a solução particular é dada por

E a solução geral é dada por

Com .