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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 2

Resolva a equação

x ¨ + ω 2 x = sen ⁡ ω t

onde ω ≠ 0 é um real dado. (Ressonância)

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x t = x h t + x p t

Onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ + ω 2 x = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t + ω 2 r e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 + ω 2 = 0

r 2 + ω 2 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 + ω 2 = 0

r 2 = - ω 2

r = ± ω i

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é sen ⁡ ω t .

Temos então como entrada um seno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo e como sen ⁡ ω t é solução da equação homogênea, então

x p t = a t cos ⁡ ω t + b t sen ⁡ ω t

x p t = t a cos ⁡ ω t + b sen ⁡ ω t

Calculando as derivadas

x p ' t = a cos ⁡ ω t + b sen ⁡ ω t + t - ω a sen ⁡ ω t + ω b cos ⁡ ω t

x p ' ' t = - ω a sen ⁡ ω t + ω b cos ⁡ ω t - ω a sen ⁡ ω t + ω b cos ⁡ ω t + t - ω 2 a cos ⁡ ω t - ω 2 b sen ⁡ ω t

= - 2 ω a sen ⁡ ω t + 2 ω b cos ⁡ ω t + t - ω 2 a cos ⁡ ω t - ω 2 b sen ⁡ ω t

Substituindo então na equação

x ¨ + ω 2 x = sen ⁡ ω t

- 2 ω a sen ⁡ ω t + 2 ω b cos ⁡ ω t + t - ω 2 a cos ⁡ ω t - ω 2 b sen ⁡ ω t + ω 2 t a cos ⁡ ω t + b sen ⁡ ω t = sen ⁡ ω t

Perceba que os componentes que contém t são cancelados e ficamos com

- 2 ω a sen ⁡ ω t + 2 ω b cos ⁡ ω t = sen ⁡ ω t

E temos

- 2 ω a = 1

a = - 1 2 ω

b = 0

E a solução particular é dada por

x p t = - 1 2 ω t cos ⁡ ω t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t x p t = - 1 2 ω t cos ⁡ ω t

Com A , B ∈ R .

Resposta

x t = A cos ⁡ ω t + B sen ⁡ ω t x p t = - 1 2 ω t cos ⁡ ω t

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