Resolva as equações de Bernoulli

(d x)/(d t) = (x)/(t) - sqrt(x) , t > 0

Passo 1

Meus queridos e minhas queridas:

Para resolver uma equação de Bernoulli, dada por:

(d y)/(d x) = h (x) y + j (x) y^(prop) ; prop != 0

Precisamos seguir 2 passos:

1 º p a s s o : m u l t i p l i c a r a m b o s o s l a d o s d a e q u a ç ã o p o r y^(- prop) ;

2 º p a s s o : f a z e r a m u d a n ç a d e v a r i á v e l u = y^(1 - prop) , y = y (x) .

Vamos lá:

(d x)/(d t) = (x)/(t) - sqrt(x)

Multiplicando ambos os lados da equação por (1)/(sqrt(x)) :

(1)/(sqrt(x)) * (d x)/(d t) = (1)/(t) * (x)/(sqrt(x)) - 1

(1)/(sqrt(x)) * (d x)/(d t) = (1)/(t) * sqrt(x) - 1

Agora precisamos fazer a substituição de variável:

u = sqrt(x)

(d u)/(d t) = (1)/(2 sqrt(x))

2 sqrt(x) . d u = d x

Então:

(2 sqrt(x) . d u)/(sqrt(x) . d t) = (1)/(t) u - 1

(d u)/(d t) = (1)/(2 t) u - (1)/(2)

Passo 2

Para resolvermos esse tipo de equação, precisamos fazer uso do seguinte artifício:

As soluções da equação:

(d y)/(d x) = f (x) y + g ( x )

São dadas pela fórmula:

y = e^(int f (x) d x) * [k + int g (x) e^(- int f (x) d x) d x]

Portanto, mãos a massa!

Sendo a equação:

(d u)/(d t) = (1)/(2 t) u - (1)/(2)

Sabemos que:

{[[f (t) = (1)/(2 t)],[g (t) = - (1)/(2)]])

Vamos lá!

u = e^(int (1)/(2 t) d t) * [k + int - (1)/(2) . e^(- int (1)/(2 t) d t) d t]

u = e^((1)/(2) ln t) * [k - (1)/(2) int e^(- (1)/(2) ln t) d t]

Lembrar de 2 propriedades dos logaritmos:

a . ln b = ln b^a

e^(ln a) = a

Logo:

u = k sqrt(t) + sqrt(t) {- sqrt(t)}

u = k sqrt(t) - t

Lembrem-se de retornar a substituição feita:

u = sqrt(x)

sqrt(x) = k sqrt(t) - t

x = (k sqrt(t) - t)^2

Resposta

x = (k sqrt(t) - t)^2 o u x = 0

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