Verifique que a equação de Bernoulli:

d y d x + x y = y 2 ,               y ≠ 0

É equivalente a:

x y - 1 - 1 d x + y - 2 d y = 0

Procure um fator integrante e resolva.

Passo 1

Vamos continuar turminhaa!!

Reorganizando a equação de Bernoulli:

d y d x = y 2 - x y

d y = y 2 - x y d x

x y - y 2 d x + d y = 0

Dividindo tudo por y 2 :

x y - 1 - 1 d x + y - 2 d y = 0

Com isso nós podemos chamar:

P x ,   y = x y - 1 - 1

Q x ,   y = y - 2

Derivando P em y e Q em x:

P y = - x y - 2

Q x = 0

Como as derivada não são iguais esta equação não é exata.

Sendo assim, para resolvê-la nós vamos multiplica-la por uma função μ ( x ,   y ) para que o produto se torne uma equação exata, ok?

A nossa função μ ( x ,   y ) é chamada de fator integrante e é determinado pela relação:

μ x ,   y = e ∫ P y - Q x Q . d x

Substituindo:

μ x ,   y = e ∫ - x y - 2 - 0 y - 2 . d x = e ∫ - x . d x

μ x ,   y = e - x 2 2

Multiplicando cada termo por e - x 2 2 :

e - x 2 2 x y - 1 - 1 d x + e - x 2 2 y - 2 d y = 0

Passo 2

Agora que temos a nossa equação exata podemos dar continuidade, ok?

d φ d x = e - x 2 2 x y - 1 - 1

d φ d y = e - x 2 2 y - 2

Bom galerinha, integrando as duas condições:

φ x , y = e - x 2 2 y + ∫ e - x 2 2 . d x

Portanto nós concluímos que a equação e - x 2 2 x y - 1 - 1 d x + e - x 2 2 y - 2 d y = 0 é exata e suas condições são dadas implicitamente por e - x 2 2 y + ∫ e - x 2 2 . d x = k , em que k é uma constante.

De boa, não é?

Resposta

φ x , y = e - x 2 2 y + ∫ e - x 2 2 . d x

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