Suponha que existe um natural n 1 tal que, para todo n ≥ n 1 , a n ≤ b n . Prove que se l i m n → + ∞ a n = + ∞ , então l i m n → + ∞ b n = + ∞

Passo 1

Muito bem cara!

A definição i i da seção 1 do livro afirma que “para todo ϵ > 0 , existe um numero natural tal que n > n 0 ⟹ a n > ϵ ” , isso implica que:

lim n → ∞ ⁡ a n = + ∞

Mas o que isso quer dizer? Você pode ter pensado!

Passo 2

Bem, o ϵ é uma pequena distancia entre a função e o limite. Logo se nosso n é maior que um número natural n 0 então a termo geral da sequencia é maior que esta distancia ϵ e o limite quando esta sequencia tende ao infinito é igual a mais infinito, pois se inicia em zero até valores muito grandes.

A diferença da definição i i para do nosso enunciado é só que o numero natural não é n 0 e sim n 1 logo esta definição se aplica a este problema.

Resposta

Como a n ≤ b n e a n é maior que zero fica evidente que o limite de b n também será mais infinito de modo que:

l i m n → + ∞ b n = + ∞

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