Resolva

(d y)/(d x) = (y)/(x) , x > 0

Passo 1

Uma das primeiras formas que encontramos para resolver nossas equações diferenciais é escreve-la na forma de variáveis separáveis

(d y)/(d x) = g (x) h ( y )

E assim escreve-la da seguinte forma

(d y)/(h (y)) = g (x) d x

Daqui é só um passo para resolvemos.

Passo 2

Olhando para nossa equação, já temos que nos considerar com sorte que ela já vem da forma separável. Assim temos que nossa equação pode se reescrita como definimos no passo 1, ou seja

(d y)/(d x) = (y)/(x) -> (d y)/(y) = (d x)/(x)

Agora vamos integrar em ambos os lados.

int (d y)/(y) = int (d x)/(x)

Em ambas as integrais temos que

int (f^' (z))/(f (z)) d z = ln f ( z )

Então

ln y = ln x + c

Assim podemos fazer

e^(ln y) = e^(ln x + c) = K e^(ln x)

Na qual, temos que

e^(ln y) = | y |

Ou seja

|y| = K |x| -> y = +- K x

O que nos resulta em um gráfico da seguinte forma com K = 1

Resposta

y = +- x

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