1. Resolva

D)

{[[overset(˙)(x) = x + y],[overset(˙)(y) = x + y - z],[overset(˙)(z) = y + z]])

Passo 1

Bem, queremos aqui resolver um sistema 3x3. Basicamente a forma de resolução é a mesma dos sistemas 2x2, porém com um cálculo mais chatinho! Mas não se preocupe que vamos destrinchar juntos esses cálculos! Bora?

Primeira coisa é montar a matriz dos coeficientes A baseado no sistema:

A = [[[1,1,0],[1,1,-,1],[0,1,1]]]

Agora devemos buscar os autovalores dela!

Passo 2

AUTOVALORES:

Os autovalores lambda de uma matriz são do tipo:

det (A - lambda I) = 0

Onde basicamente o que devemos fazer é subtrair lambda na diagonal principal da matriz A , veja:

det ([[1,-,lambda,1,0],[1,1,-,lambda,-,1],[0,1,1,-,lambda]]) = 0

O determinante de matriz 3x3 é um pouco mais chato que o 2x2. Aqui você tem que repetir as duas primeiras colunas e fazer aquele esquema de multiplicação de diagonais, se lembra?

([[1,-,lambda,1,0],[1,1,-,lambda,-,1],[0,1,1,-,lambda]]) [[1,-,lambda,1,],[1,1,-,lambda,],[0,1,]] = 0 ->

(1 - lambda)^3 + 0 - (1 - lambda) + (1 - lambda) - (0) = 0

Simplificando isso aí...

(1 - lambda)^3 = 0 ->

Então, se a solução dessa equação é um desses 3 valores aqui:

lambda_1 = 1 , lambda_2 = 1 e lambda_3 = 1

O conjunto de soluções fundamentais x^((k)) para cada um deles vão ser:

  • Para o lambda_1 que é real e o primeiro a ser analisado...
  • x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

  • Para lambda_2 que é real e o segundo a ser analisado...
  • x^((2)) = v_1 t e^(lambda_1 t) + v_2 e^(lambda_2 t)

  • Para o lambda_3 que é real e o terceiro a ser analisado:

x^((3)) = v_1 t^2 e^(lambda_1 t) + v_2 t e^(lambda_2 t) + v_3 e^(lambda_1 t)

Onde v_1 , v_2 e v_3 são os autovetores determinados por:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

(A - lambda_2 I) v_2 = v_1

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Partiu calcular esses autovetores agora?

Passo 3

AUTOVETOR 1:

(A - lambda_1 I) v_1 = 0

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Onde a , b e c são os valores das coordenada dele, se os conhecermos então a gente conhece o autovetor! Substituindo ele no lugar de v :

(A - lambda_1 I) ([[a],[b],[c]]) = 0

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[1,-,lambda,1,0],[1,1,-,lambda,-,1],[0,1,1,-,lambda]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Como lambda_1 = lambda = 1 ...

([[0,1,0],[1,0,-,1],[0,1,0]]) ([[a],[b],[c]]) = 0

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[b = 0],[a - c = 0],[b = 0]])

Da primeira equação...

b = 0

Já da segunda equação...

a = c

Se escolhermos c = 1 , então a = 1 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_1 = ([[1],[0],[1]])

Passo 4

AUTOVETOR 2:

(A - lambda_2 I) v_2 = v_1

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_2 I) ([[a],[b],[c]]) = ([[1],[0],[1]])

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[1,-,lambda,1,0],[1,1,-,lambda,-,1],[0,1,1,-,lambda]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[1],[0],[1]])

Como lambda_2 = lambda = 1 ...

([[0,1,0],[1,0,-,1],[0,1,0]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[1],[0],[1]])

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[b = 1],[a - c = 0],[b = 1]])

Da primeira equação...

b = 1

Já da segunda equação...

a = c

Se escolhermos c = 1 , então a = 1 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_2 = ([[1],[1],[1]])

Passo 5

AUTOVETOR 3:

(A - lambda_3 I) v_3 = v_2

Se chamarmos as coordenadas desse vetor v de:

([[a],[b],[c]])

Novamente teremos...

(A - lambda_3 I) ([[a],[b],[c]]) = ([[1],[1],[1]])

Lembre-se de que menos lambda I nada mais é do que subtrair lambda da diagonal principal:

([[1,-,lambda,1,0],[1,1,-,lambda,-,1],[0,1,1,-,lambda]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[1],[1],[1]])

Como lambda_2 = lambda = 1 ...

([[0,1,0],[1,0,-,1],[0,1,0]]) ([[a],[b],[c]]) = ([[1],[1],[1]])

Resolvendo esse produto matricial aí...

{[[b = 1],[a - c = 1],[b = 1]])

Da primeira equação...

b = 1

Já da segunda equação...

a = 1 + c

Se escolhermos c = 1 , então a = 2 . Logo, o autovetor associado a esse autovalor é:

v_3 = ([[2],[1],[1]])

Passo 6

Logo, as três soluções fundamentais serão:

x^((1)) = v_1 e^(lambda_1 t)

x^((2)) = v_1 t e^(lambda_1 t) + v_2 e^(lambda_2 t)

x^((3)) = v_1 t^2 e^(lambda_1 t) + v_2 t e^(lambda_2 t) + v_3 e^(lambda_1 t)

Substituindo...

x^((1)) = ([[1],[0],[1]]) e^t

x^((2)) = ([[1],[0],[1]]) t e^t + ([[1],[1],[1]]) e^t

x^((3)) = ([[1],[0],[1]]) t^2 e^t + ([[1],[1],[1]]) t e^t + ([[2],[1],[1]]) e^t

A solução final é então dada pela expressão:

([[x],[y],[z]]) = c_1 x^((1)) + c_2 x^((2)) + c_3 x^((3)) ->

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[1],[0],[1]]) e^t + c_2 ([[1],[0],[1]]) t e^t + c_2 ([[1],[1],[1]]) e^t + c_3 ([[1],[0],[1]]) t^2 e^t + c_3 ([[1],[1],[1]]) t e^t + c_3 ([[2],[1],[1]]) e^t

Resposta

([[x],[y],[z]]) = c_1 ([[1],[0],[1]]) e^t + c_2 ([[1],[0],[1]]) t e^t + c_2 ([[1],[1],[1]]) e^t + c_3 ([[1],[0],[1]]) t^2 e^t + c_3 ([[1],[1],[1]]) t e^t + c_3 ([[2],[1],[1]]) e^t

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