9. Suponha que para todo n ≥ 1 , a n - a ≤ 1 n , onde a é um número real fixo. Calcule lim n → ∞ ⁡ a n e justifique.

Passo 1

Bem, primeiro vamos vejamos o seguinte:

a n - a ≤ 1 n         →

Esse inequação modular é mmmmuiiito típico e ela aparece sempre quando temos um intervalo, veja:

x - a ≤ k     →

- k + a ≤ x ≤ k + a

SEMPRE! Então aqui podemos também fazer essa separação em intervalo:

- 1 n + a ≤ a n ≤ 1 n + a

Aplicando o limite em todo mundo:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + a ≤ lim n → ∞ ⁡ a n ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 n + a

Observe que n indo para o infinito, implica 1 / n ou - 1 / n indo a 0 . O seja, esses limites valem...

a ≤ lim n → ∞ ⁡ a n ≤ a       →

Pelo teorema do sanduiche dos limites, esse limite só pode ser igual a a :

lim n → ∞ ⁡ a n = a

Resposta

Questão de demonstração: deve-se utilizar o teorema do Sanduiche.

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