A reta tangente ao gráfico de y = f ( x ) , no ponto (x,y), intercepta o eixo y no ponto de ordenada xy. Determine f sabendo que f(1)=1.

Passo 1

Meus fofos, vamos direto ao ponto:

A reta tangente ao gráfico tem como equação:

Y - y = ( X - x ) d y d x

Sendo que, para X = 0 , temos Y = x y .

Logo:

x y - y = - x d y d x

y ( x - 1 ) = - x d y d x

1 x - 1 d x = d y y

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:

∫ d y y = ∫ 1 x - 1 d x

ln ⁡ y = ln ⁡ x - x + k

OBS: Precisamos lembrar de duas simples propriedades de logaritmos:

a = ln ⁡ e a

ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ a b

Então:

ln ⁡ y = ln ⁡ x + ln ⁡ e - x + k

ln ⁡ y = ln ⁡ x e - x + k

Elevando ambos os lados da equação a e , que é a base de l n :

f x = y = x e - x + k

Lembrando que f 1 = 1 :

f 1 = 1 ⇒ 1 = 1 . e k - 1

e 0 = e k - 1

k - 1 = 0 → k = 1

Substituindo k na nossa equação original, temos:

f x = x e 1 - x

Resposta

f x = x e 1 - x

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